Прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов

Свойство

Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором . Докажем, что .

Пусть – медиана.

Тогда , следовательно, и – равнобедренные.

Тогда , следовательно, .

Тогда – равносторонний, следовательно, .

Первый признак

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен .

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором .

Докажем, что .

Проведем медиану . Тогда по свойству медианы прямоугольного треугольника .

Тогда треугольник – равносторонний, а, значит

Тогда .

И поскольку треугольник – равнобедренный, то

Второй признак

Если в треугольнике напротив угла в лежит сторона, равная половине другой стороны этого треугольника, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Первый способ.

Рассмотрим треугольник , в котором .

Докажем, что тогда .

Предположим противное, тогда из точки можно опустить перпендикуляр на прямую .

Треугольник – прямоугольный,, следовательно, .

Тогда – равнобедренный, и , что невозможно.

Значит,

Второй способ.

Рассмотрим треугольник , в котором .

По теореме синусов для : .

Тогда , то есть .