Равенство векторов

Определение

Векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены.

Теорема

Каждый вектор равен самому себе.

Если вектор равен вектору , то вектор равен вектору .

Два вектора равные третьему вектору, равны.

Доказательство

Первые два свойства очевидно вытекают из определения равенства векторов.

Докажем третье свойство.

Пусть и .

Тогда и , а также и $\vec{c}\upuparrows \vec{b}$.

Из равенства модулей следует, что .

А из теоремы \ref{130} вытекает, что .

Поэтому .

Теорема

Если четырехугольник – параллелограмм, то .

Доказательство

Из того, что параллелограмм следует, что и .

Кроме того лучи и лежат по одну сторону от прямой , следовательно вектора и сонаправлены и равны по модулю.

Таким образом .

Теорема

Если , то .

Доказательство

Из равенства векторов и следует, что и либо , либо точки лежат на одной прямой.

В первом случае, по признаку, четырехугольник будет являться параллелограммом.

Следовательно, по теореме .

Во втором случае введем на прямой координату . Пусть числа – координаты точек соответственно. Тогда условие означает, что выполнено равенство .

Здесь равенство модулей чисел и означает, что , а совпадение их знаков – что .

Но тогда , что и означает .