Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием .

Пусть – биссектриса этого треугольника.

Треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников – общая, .

Следовательно, .

Кроме того, , а поскольку они смежные, то каждый из них является прямым, то есть – высота.

Из равенства этих треугольников следует, что .

Следовательно – не только биссектриса и высота, но и медиана.

Признаки равнобедренного треугольника

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство

Рассмотрим треугольник .

Докажем первый пункт теоремы

Докажем, что если , то .

Первый способ.

Поскольку и острые (иначе сумма углов треугольника была бы больше ), то высота, проведенная из вершины падает на сторону .

Так как сумма углов треугольника равна , то .

Следовательно, треугольники и равны по второму признаку равенства треугольников – общая сторона.

Тогда , то есть треугольник равнобедренный.

Второй способ.

Если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).

Итак .

Докажем второй пункт теоремы

Докажем теперь, что если – медиана и высота, то треугольник равнобедренный.

Действительно, так как , a – общая сторона, то треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников.

Следовательно, , то есть треугольник равнобедренный.

Докажем третий пункт теоремы

Докажем, что если – биссектриса и высота для , то треугольник равнобедренный.

Действительно, так как , a – общая сторона, то треугольники и равны по второму признаку равенства треугольников.

Следовательно, , то есть треугольник равнобедренный.

Докажем четвертый пункт теоремы

Докажем, что если – медиана и биссектриса, то треугольник равнобедренный.

Предположим противное – треугольник не равнобедренный, и, следовательно, не высота.

Проведем через точку прямую перпендикулярно .

Обозначим точки пересечения прямой с прямыми и как и соответственно.

Треугольник – равнобедренный, так как – биссектриса и высота этого треугольника.

Тогда – медиана треугольника , то есть .

Тогда треугольники и равны по первому признаку как вертикальные, .

Тогда , и, следовательно, прямые и параллельны, что невозможно.