Ромб

Определение

Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Замечание

Ромб является частным случаем параллелограмма, так как его противоположные стороны попарно равны (третий признак).

Замечание

Ромб наследует все свойства параллелограмма.

Свойства ромба

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Доказательство

Рассмотрим ромб , в котором диагонали и пересекаются в точке .

Докажем, что они перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Действительно, так как – частный случай параллелограмма, то диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть .

Тогда, так как , то по третьему признаку равенства.

Тогда , так как это смежные углы.

Кроме того, , .

Таким образом диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Следствие

Диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных треугольника.

Признаки ромба

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Если одна из диагоналей параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб.

Если в четырёхугольнике диагональ является биссектрисой углов и , а диагональ является биссектрисой углов и , то – ромб.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим параллелограмм , в котором .

Докажем, что – ромб.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, .

Кроме того, .

Тогда по первому признаку равенства.

Следовательно .

А так как – параллелограмм, то , то есть – ромб.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим параллелограмм , в котором диагональ является биссектрисой угла , то есть .

Докажем, что – ромб.

, как накрест лежащие, следовательно, .

То есть – равнобедренный и .

А так как – параллелограмм, то , то есть , и – ромб.

Докажем третий пункт теоремы

Заметим, что по второму признаку ($\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4AC$ – общая).

Тогда , а следовательно, равны и их половины: $\angle 5=\angle 6=\angle7=\angle 8$.

Но тогда треугольники и – равнобедренные: .

Кроме того по второму признаку ( – общая, ).

А значит и .

Таким образом все стороны четырёхугольника равны между собой: .