Теорема Чевы

Чевианы и треугольника пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

Докажем прямую теорему.

Рассмотрим треугольник , в котором чевианы и пересекаются в точке .

Докажем, что тогда .

Треугольники и имеют общее основание , следовательно, их площади относятся, как высоты проведенные из вершин и соответственно.

Треугольники и имеют общее основание , следовательно, их площади относятся, как высоты проведенные из вершин и соответственно.

Следовательно .

Кроме того, треугольники и имеют общую высоту, проведенную из вершины , следовательно, .

Тогда .

Аналогично и .

Перемножая эти равенства, получим: .

Докажем обратную теорему.

Пусть – точка пересечения чевиан и в треугольнике .

Пусть прямая пересекает сторону в точке .

Докажем, что если , то .

Так как чевианы и пересекаются в одной точке, то по первой части доказательства .

Но тогда , что и означает, что .

Замечание

Можно доказать через теорему Менелая или через подобие.