Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков, а потом через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на другой прямой равные отрезки.

Доказательство

Пусть параллельные прямые пересекают прямые и в точках и соответственно.

Пусть при этом .

Докажем, что тогда .

Рассмотрим случай, когда прямые a и b параллельны.

Тогда и – параллелограммы.

Следовательно, и , и так как , то .

Рассмотрим случай, когда прямые a и b не параллельны.

Проведем через точку прямую , параллельную прямой .

Пусть прямые и прямая пересекаются в точках .

По первому случаю , кроме того .

Тогда – средняя линия , то есть .

Замечание

Утверждение обратное теореме Фалеса неверно.

То есть, из того, что прямые прямые пересекают прямые и в точках и соответственно, и при этом и , не следует, что прямые и параллельны.