Теорема косинусов

В каждом треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство

Первый способ.

Рассмотрим треугольник со сторонами и .

Докажем, что .

Возможны три случая:

.

Первый случай.

Пусть .

Тогда и требуемое равенство обращается в теорему Пифагора для прямоугольного треугольника .

Второй случай.

Пусть .

В треугольнике есть ещё хотя бы один острый угол.

Пусть это будет угол .

Из вершины проведем высоту .

Так как углы и острые, точка лежит на стороне .

Отрезок будет катетом в прямоугольном треугольнике с гипотенузой и прилежащим острым углом .

Поэтому

По теореме Пифагора находим из другого прямоугольного треугольника с катетами и .

Получаем .

Но из треугольника .

Подставив это выражение для в предыдущее равенство и заменив по формуле, получим: .

Третий случай.

Пусть .

Снова проведем высоту из вершины .

Теперь ее основание – точка лежит на продолжении стороны за точку .

Снова обозначим отрезок через .

В этом случае и из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора .

По определению косинуса тупого угла .

Поэтому .

Наконец, из треугольника снова получаем, что .

Подставляя это выражение для и выражение для , то есть в, снова получаем: .

Второй способ.

Рассмотрим треугольник со сторонами и .

Докажем, что .

Введем систему координат с началом в точке так, чтобы $Ox\upuparrows \overrightarrow{AB}C$ имела бы положительную ординату.

Тогда точка имеет координаты , а точка имеет координаты .

По формуле расстояния между двумя точками получаем: .