Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим треугольник с прямым углом .

Пусть .

Докажем, что .

Достроим треугольник до квадрата со стороной так, как это показано на рисунке.

Треугольники , , $\triangle EFG\triangle GHA$ равны по двум катетам.

Тогда у них равны гипотенузы, следовательно – ромб.

Кроме того из равенства этих треугольников следует, что , а так как , то , следовательно, , то есть – ромб с прямым углом, то есть квадрат.

Квадрат – составлен из четырех равных треугольников и квадрата со стороной .

Тогда с одной стороны , а с другой .

Следовательно, , откуда .

Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Пусть в треугольнике выполняется равенство .

Докажем, что .

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом , у которого и .

По теореме Пифагора , и, значит, , то есть .

Тогда треугольники и равны по третьему признаку равенства, следовательно,

Формула Герона

Площадь треугольника со сторонами и и полупериметром вычисляется по формуле .

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором .

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Пусть и – острые углы треугольника .

Тогда основание высоты треугольника лежит на стороне .

Пусть .

По теореме Пифагора , откуда , или .

Так как , то .

Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим: .

Поэтому

Следовательно, .

Но .