Теорема Птолемея

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Доказательство

Докажем прямую теорему

Рассмотрим четырёхугольник вписанный в окружность.

Тогда , и, следовательно, косинусы этих углов противоположны.

Тогда .

Из треугольников и по теореме косинусов имеем

.

Сумма этих косинусов равна нулю, то есть

Домножив последнее равенство на , получим: .

Выразим из последнего равенства: .

Аналогично из треугольников и получаем .

Отсюда , или .

Докажем обратную теорему.

Пусть выполнено равенство .

Докажем, что тогда около четырёхугольника можно описать окружность.

Обозначим через радиус окружности, описанной около треугольника .

Из точки опустим перпендикуляры на прямые и и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через и соответственно.

Отрезок виден из точек и под углом , следовательно, точки и лежат на окружности с диаметром .

По обобщённой теореме синусов для треугольника получаем: .

По теореме синусов для треугольника имеем .

Поделив последние два равенства друг на друга, получим .

Таким же образом, рассматривая треугольники и , получим соотношения .

Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем .

Сократив на , получим , откуда следует, что точки и лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что из этого следует, что около четырёхугольника можно описать окружность.

Построим окружности на отрезках и как на диаметрах.

Первая из них проходит через точки и (углы и прямые), а вторая – через точки и ().

По теореме о вписанном угле , где дуга берётся на окружности, описанной около .

Аналогично , где дуга берётся на окружности, описанной около .

Но так как углы и равны, как вертикальные, то .

Тогда в прямоугольных треугольниках и есть равные острые углы $\angle ADC_1=\angle CDA_1\angle DAC_1=\angle DCA_1$.

Тогда, учитывая, что углы и – смежные, получим .

Следовательно, около четырёхугольника можно описать окружность.

Другой способ доказательства прямой теоремы

Обозначим диагонали и вписанного четырехугольника соответственно и , стороны – , дуги и – и , угол между прямыми и – . Нужно доказать, что .

Вычислим удвоенную площадь четырехугольника разными способами.

Первый способ: , при этом

Второй способ: Отрежем треугольник от четырехугольника и приложим его к диагонали .

Получим четырехугольник , равновеликий четырехугольнику , в котором стороны и , и стали соседними и который вписан в ту же окружность, так как углы и равны между собой.

Теперь вычислим удвоенную площадь этого четырехугольника, разделив его диагональю на два треугольника.

Получим .

Угол вписан в окружность и измеряется половиной дуги . Так как углы и в сумме составляют развернутый, то их синусы равны.

Поэтому . Сравнивая полученную формулу с формулой Получаем

Следствие

Площадь вписанного четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны вычисляется по формуле .

Доказательство

Площадь четырёхугольника выражается через диагонали по формуле .

Но так как , то есть , а по теореме Птолемея , то .