Углы в окружности

Определение

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.

Определение

Градусной мерой дуги окружности называется величина центрального угла, который соответствует этой дуге.

Определение

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теоерема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Пусть – вписанный угол окружности с центром , опирающийся на дугу .

Докажем, что .

Рассмотрим три возможных случая расположения луча относительно угла .

Первый случай.

Пусть луч совпадает с одной из сторон угла , например со стороной .

В этом случае дуга меньше полуокружности, поэтому .

Так как угол – внешний угол равнобедренного треугольника , и , как углы при основании равнобедренного треугольника, то .

Отсюда следует, что или .

Второй случай.

Пусть луч делит угол на два угла.

В этом случае луч пересекает дугу в некоторой точке .

Точка разделяет дугу на две дуги: и .

По первому случаю и .

Складывая эти равенства, получим: .

Третий случай.

Пусть луч пересекает окружность в точке , при этом луч разбивает угол на два угла.

Точка разделяет дугу на две дуги: и .

По первому случаю и .

Вычитая эти равенства, получим: .

Следствие

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие

Вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Теорема

Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами.

Угол между двумя пересекающимися секущими данной окружности равен полуразности дуг, высекаемых этими секущими.

Угол между двумя пересекающимися касательными к окружности равен , где – градусная мера меньшей из дуг, образованных точками касания.

Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними.

Угол между касательной и секущей, равен полуразности дуг, которые они высекают.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Пусть хорды и окружности пересекаются в точке .

Обозначим .

Докажем, что .

Углы и – вписанные, поэтому .

Кроме того – внешний угол треугольника , поэтому $\angle \varphi=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Докажем второй пункт теоремы.

Пусть секущие и пересекают окружность в точках и соответственно.

Обозначим $\alpha = \buildrel\,\,\frown\over{BD}, \beta=\buildrel\,\,\frown\over{AC}, \angle \varphi=\angle P$.

Докажем, что тогда .

Углы и – вписанные, поэтому .

Кроме того – внешний угол треугольника , следовательно, $\frac{\alpha}{2}=\angle \varphi+\frac{\beta}{2}\angle \varphi=\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Докажем третий пункт теоремы.

Пусть из точки к окружности с центром проведены две касательные и ( и – точки касания).

Обозначим .

Угол – центральный, поэтому .

Кроме того .

Поскольку сумма углов четырехугольника равна , то $\angle P=\angle \varphi=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\alpha=180^\circ-\alpha$.

Докажем четвертый пункт теоремы.

Пусть прямая касается окружности с центром в точке .

Кроме того пусть проведена хорда .

Обозначим .

Докажем, что тогда .

Угол центральный, поэтому он равен .

Кроме того, треугольник равнобедренный, следовательно, .

Угол равен , так как это угол между касательной и радиусом.

Тогда .

Докажем пятый пункт теоремы.

Пусть секущая пересекает окружность в точке , – касательная.

Обозначим , , .

Докажем, что тогда .

Угол равен половине дуги , то есть .

Угол – это угол между касательной и хордой, следовательно он равен половине дуги , то есть .

Угол – внешний для треугольника , следовательно , или иначе .

Откуда .