Векторное уравнение прямой

, где – переменная точка прямой .

рис. 1a	рис. 1b	рис. 1c

Доказательство

Пусть – произвольная точка прямой .

Тогда вектора и коллинеарны, и, следовательно существует такое число , что .

Тогда, взяв произвольную точку , можно написать $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AB}$.

Таким образом для произвольной точки прямой можно написать уравнение .

При этом очевидно, что для каждого числа существует единственная точка , для которой равенство будет верно, и наоборот.

Вторая векторная форма уравнения прямой

, где – переменная точка прямой , причем

лежит между точками и , если

лежит за точкой , если

лежит за точкой , если

совпадает с точкой , если

совпадает с точкой , если .

Доказательство

Преобразуем правую часть данного уравнения: $\overrightarrow{OX}=(1-t)\cdot \overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+t\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AB}$.

То есть .

Тогда, перенеся вектор в правую часть и преобразовав разность по правилу треугольника, получим .

Откуда в силу определения умножения вектора на число ясно, что точка лежит между точками и , если , лежит за точкой , если , лежит за точкой , если , совпадает с точкой , если , совпадает с точкой , если .