Координаты векторов

Определение

Линейной комбинацией векторов и называется вектор .

Числа и называются коэффициентами линейной комбинации.

Лемма

Если вектора и неколлинеарны и , то .

Доказательство

Предположим, что . Тогда можно выразить , откуда следует, что , что противоречит условию. Таким образом . Аналогично можно доказать, что .

Теорема о разложении вектора на составляющие

Любой вектор можно единственным образом представить в виде линейной комбинации двух наперед заданных неколлинеарных векторов.

Доказательство

Пусть и – данные неколлинеарные векторы.

Докажем, что любой вектор можно разложить по векторам и .

Возможны два случая.

Первый случай

Вектор коллинеарен одному из векторов и , например вектору .

В этом случае по теореме \ref{139} вектор можно представить в виде , где – некоторое число, и, следовательно, , то есть вектор разложен по векторам и .

Второй случай

Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору .

Отметим какую-нибудь точку и отложим от неё векторы .

Через точку проведём прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с прямой .

По правилу треугольника . Но векторы и коллинеарны соответственно векторам и , поэтому существуют числа и , такие, что .

Следовательно, , то есть вектор разложен по векторам и .

Докажем теперь, что коэффициенты и разложения определяются единственным образом.

Допустим, что наряду с разложением имеет место разложение .

Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем .

Но это равенство может выполняться, только если .

В самом деле, если предположить, что например , то из полученного равенства найдем , а значит, векторы и коллинеарны.

Но это противоречит условию теоремы.

Следовательно, и .

Откуда и .

Это и означает, что коэффициенты разложения вектора определяются единственным образом.

Определение

Пусть прямая , а прямая , кроме того , и , (рис. \ref{pic142}).

Тогда говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат, а коэффициенты разложения произвольного вектора по базису называются координатами вектора в этой системе координат. То есть, если , то говорят, что вектор имеет координаты .

Вектора и называют координатными ортами.

Теорема

Если вектор в системе координат имеет координаты , то числа и совпадают с проекциями вектора на координатные оси и соответственно, то есть и .

Определение

Радиус-вектором точки в системе координат называют вектор .

Теорема

Два вектора равны тогда и только тогда, когда их координаты соответственно равны.

При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство

Первое

Пусть , .

Тогда или . Так как , то по лемме \ref{lmm-lin-nezavisimost} , то есть и .

Обратно, если , и , то очевидно .

Второе

Рассмотрим вектора и .

Так как и то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим: .

Отсюда следует, что координаты вектора равны .

Третье

Пусть вектор имеет координаты .

Тогда вектор , то есть координаты вектора равны .

Теорема

Координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конца.

Доказательство

Пусть .

Докажем, что и .

В самом деле, если , то , а векторы и сонаправлены.

Поэтому .

Если , то , а векторы и противоположно направлены.

Поэтому .

Наконец, если , то и равенство в этом случае также справедливо.

Таким образом, в любом случае .

Аналогично доказывается, что .

Следовательно, .

Отсюда следует, что координаты радиус-вектора равны , то есть равны соответствующим координатам точки .

Связь координат вектора и координат его начала и конца

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат точек и .

Доказательство

Пусть точка имеет координаты , а точка имеет координаты .

Тогда .

Теорема о модуле вектора

Для любого вектора его модуль вычисляется по формуле .

Доказательство

Если или , то формула очевидна.

Пусть и .

Отложим от начала координат вектор и проведем через точку перпендикуляры и к осям и .

Координаты точки равны координатам вектора , то есть . Поэтому .

По теореме Пифагора .

Таким образом .

Формула расстояния между двумя точками

Если и , то .

Доказательство

Если и , то вектор имеет координаты .

Следовательно, .

Координаты середины отрезка

Если и , то точка середина отрезка имеет координаты .

Доказательство

По теореме .

Таким образом .

Таким образом точка имеет координаты .

Координаты точки, разбивающий отрезок в данном отношении

…