Направленные отрезки

Определение

Направленный отрезок – это отрезок, одна граничная точка которого считается «началом», а другая – «концом».

Определение

Длиной направленного отрезка называется длина отрезка .

Определение

Направленные отрезки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение

Направленные отрезки и сонаправлены, если найдётся такая прямая , что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой и, во-вторых, лучи и лежат по одну сторону от этой прямой.

Определение 2

отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими отрезками в пересечении дают луч;

отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей начала направленных отрезков.

(рис. 1а)	(рис. 1б)

Определение 3

(рис. 2)

Замечание

Определение

Направленные отрезки называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), но не сонаправлены.

Определение

отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими отрезками в пересечении дают отрезок, точку или пустое множество;

отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, соединяющей начала направленных отрезков.

Замечание

Теорема

Два направленных отрезка сонаправленные с третьим, сонаправлены.

Доказательство

Пусть и сонаправлены с .

Докажем, что .

Так как , то по определению найдется такая перпендикулярная им прямая , от которой лучи и лежат по одну сторону.

Точно так же для и найдётся перпендикулярная им прямая , от которой лучи и лежат по одну сторону.

Если прямые и не совпадают, то они параллельны (как перпендикулярные одной и той же прямой ).

Тогда из двух полуплоскостей, которые ограничены прямыми и и содержат луч , одна содержит другую.

Будем считать, что это полуплоскость ограниченная прямой .

Эта полуплоскость содержит лучи , и .

Тем самым выполнено второе условие определения.

Кроме того выполнено и первое условие, так как и перпендикулярны прямой .

Поэтому .

Определение

Направленные отрезки называются равными, если они равны по длине и сонаправлены.