Теорема

Для любых чисел и любых векторов справедливы равенства:

;

.

;

Доказательство

Докажем первый пункт

Докажем, что для любых чисел , и любого вектора справедливо равенство .

Если , то справедливость этого равенство очевидна.

Пусть .

Имеем: .

Далее, если , то и .

Если же , то и .

И в том и в другом случае .

Следовательно, .

Докажем второй пункт

Докажем, что для любого числа и любых векторов и справедливо равенство .

Если , или , или , то справедливость этого равенства очевидна.

Пусть

Возможны три случая.

Первый случай

Пусть .

Тогда вектора , , а следовательно, и , сонаправлены.

Кроме того .

Следовательно, .

Второй случай

Пусть .

Пусть для определённости .

Тогда и .

Тогда .

Кроме того в этом случае .

Следовательно, .

Третий случай

Пусть .

Тогда отложим от какой-нибудь точки векторы и , а от точек и векторы и .

Треугольники и подобны с коэффициентом подобия по второму признаку подобия треугольников.

Следовательно, .

C другой стороны, .

Итак, .

Докажем третий пункт

Докажем, что для любых чисел и любого вектора справедливо равенство .

Если , то справедливость этого равенство очевидна.

Пусть хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Для определённости будем считать, что , и, следовательно, и .

Рассмотрим вектор .

Очевидно, .

Далее, .

Умножая обе части этого равенства на , получим, что справедливо равенство .

Теорема

Если точка лежит на отрезке , и , то .

Доказательство

Выберем произвольную точку и обозначим $\vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}, \vec{c}=\overrightarrow{OC}$.

Тогда , .

Тогда
$\displaystyle\vec{c}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}(\vec{b}-\vec{a})= \dfrac{\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}+\alpha \vec{b}-\alpha\vec{a}}{\alpha+\beta}=\dfrac{\beta \vec{a}+\alpha\vec{b}}{\alpha+\beta}$

То есть

Таким образом .

Следствие

Если в треугольника – это медиана, то .