Определение произведения вектора на число

Произведением вектора на число называется такой вектор , для которого выполняются два условия:

он сонаправлен с вектором , если , и противоположно направлен вектору , если

Если же или , то вектор (рис. \ref{pic138})

Следствие

для любого вектора .

для любого вектора .

Если и , то .

Если и , то .

Доказательство

Первое

По определению вектор по модулю равен , кроме того он сонаправлен с , так как .

Второе

По определению вектор по модулю равен , кроме того он противоположно направлен с , так как , следовательно, это вектор .

Третье

Если , то , и так как , то . Кроме того, если , то вектора и сонаправлены с , а если , то они сонаправлены с . Таким образом .

Четвертое

Если , то , а так как , то на можно сократить, следовательно, . А так как вектора и сонаправлены, то числа и одного знака. Следовательно, .