Центральная симметрия

Определение

Центральная симметрия относительно точки – это такое преобразование плоскости, которое любой точке сопоставляет такую точку , что .

Теорема

Центральную симметрию можно представить в виде композиции двух осевых симметрий относительно взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через центр симметрии. .

Доказательство

Рассмотрим центральную симметрию, относительно точки .

Рассмотрим произвольные взаимно перпендикулярные прямые и , проходящие через точки .

Докажем, что .

Для этого докажем, что для произвольной точки будет выполнено , где .

Пусть и .

Тогда – прямоугольный, кроме того .

Следовательно, , то есть .

Теорема

Центральная симметрия является движением.

Доказательство

Так как центральная симметрия представляется в виде композиции двух осевых симметрий, а композиция движений является движением, то центральная симметрия также является движением.

Центральная симметрия в координатах

Образ точки при центральной симметрии относительно точки имеет координаты .

Доказательство

Утверждение теоремы очевидно следует из следующей цепочки равенств: .