Осевая симметрия

Определение

Осевой симметрией относительно прямой называется такое преобразование плоскости, при котором точки прямой остаются неподвижными, а для любой точки не лежащей на прямой будет выполнено: , , где – это образ точки .

Осевая симметрия в координатах

Образ точки при осевой симметрии относительно прямой имеет координаты ;

Образ точки при осевой симметрии относительно прямой имеет координаты ;

Образ точки при осевой симметрии относительно прямой имеет координаты .

Образ точки при осевой симметрии относительно прямой имеет координаты .

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы

Пусть .

Обозначим координаты точки .

Очевидно, что .

Рассмотрим различные случаи расположения точки относительно прямой .

Пусть .

Тогда .

Если , то , то есть соотношение остаётся верным.

Если же , то .

Докажем второй пункт теоремы

Пусть .

Обозначим координаты точки .

Очевидно, что .

Рассмотрим различные случаи расположения точки относительно прямой .

Пусть .

Тогда .

Если , то , то есть соотношение остаётся верным.

Если же , то .

Докажем третий пункт теоремы

Прямая образует равные углы с осями координат.

А так как движение сохраняет углы, а точка остаётся неподвижной при осевой симметрии относительно прямой , то образом оси абсцисс при осевой симметрии является ось ординат, и наоборот.

Следовательно, координаты точки при осевой симметрии меняются местами, то есть образом точки будет являться точка .

Теорема

Осевая симметрия является движением..

Доказательство

Рассмотрим осевую симметрию .

Докажем, что – это движение.

Введем систему координат таким образом, чтобы прямая совпадала с осью абсцисс.

Возьмём любые две точки и и рассмотрим симметричные им относительно оси точки и .

По формуле расстояния между двумя точками

Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояния, то есть является движением.

Теорема

Пусть точки и лежат по одну сторону от прямой . Сумма расстояний , где точка лежит на прямой будет наименьшей, если лучи и образуют равные углы с прямой .

Доказательство

Пусть .

Пусть прямая пересекает прямую в точке .

Тогда, так как , то .

Для любой точки прямой , отличной от точки , с учётом неравенства треугольника будет верно .

Таким образом сумма будет наименьшей.

Докажем теперь, что .

Действительно, треугольник равнобедренный, и, следовательно, высота является биссектрисой.

Тогда . Но , как вертикальные. Следовательно, .