Параллельный перенос

Определение

Параллельным переносом фигуры называется такое ее преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, то есть на заданный вектор.

Теорема

Параллельный перенос является движением.

Доказательство

Рассмотрим произвольный вектор и соответствующий ему параллельный перенос .

Необходимо доказать, что для произвольных точек и расстояние равно расстоянию , где .

Действительно, четырёхугольник – это параллелограмм, так как , то есть и .

Следовательно, .

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние, то есть является движением.

Теорема

Параллельный перенос сохраняет направления.

Движение, сохраняющее направления, является параллельным переносом.

Доказательство

Пусть .

Тогда .

Следовательно, – это параллелограмм, и, следовательно , откуда следует, что , а это и означает, что движение сохраняет направления.

Пусть движение сохраняет направления, то есть для любого вектора будет выполняться , где .

Так как – это движение, то .

А так как , то .

Из этого равенства следует, что – параллелограмм, и, следовательно, .

Последнее равенство означает, что движение переносит любую точку на один и тот же вектор, то есть по определению является параллельным переносом.

Параллельный перенос в координатах

Образ точки при параллельном переносе на вектор имеет координаты .

Доказательство

Утверждение теоремы очевидно следует из цепочки равенств:

$X'=\overrightarrow{OX'}=\overrightarrow{OX}+\vec{a}=(x_0;y_0)+(x_a,y_a)=(x_0+x_a; y_0+y_a)$.