Поворот

Определение

Поворотом фигуры вокруг точки на угол называется такое преобразование, которое каждую точку переводит в точку , при этом и угол отложенный в заданном направлении от луча равен .

Теорема

Поворот можно представить в виде композиции двух осевых симметрий.

Доказательство

Рассмотрим поворот .

Докажем, что , где прямые и пересекаются в точке под углом .

Необходимо доказать, что для любой точки будет выполнено , где и .

Если , то равенство очевидно, так как точка остаётся неподвижной.

Пусть теперь точка не совпадает с точкой .

Прямые и образуют два острых и два тупых угла.

Пусть точка лежит на прямой .

Тогда .

Пусть .

Тогда , обозначим эти углы .

Кроме того, пусть .

Если и

Теорема

Поворот является движением.

Поворот в координатах

Пусть точка при повороте на угол вокруг начала координат в положительном направлении переходит в точку . Тогда координаты и связаны соотношениями: