Вневписанные окружности

Определение

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью этого треугольника.

Теорема

У любого треугольника есть три вневписанных окружности.

Доказательство

Рассмотрим треугольник .

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах и пересекаются в точке .

Тогда точка равноудалена от прямых и .

Следовательно, точка лежит на биссектрисе угла .

Обозначим расстояние от точки до стороны за .

Тогда окружность с центром в точке и радиусом касается стороны и продолжений сторон и , то есть является вневписанной окружностью данного треугольника.

Аналогично можно построить вневписанные окружности с центрами в точках и , касающиеся сторон и соответственно.

Свойства вневписанной окружности

Свойство 1

Пусть в треугольнике биссектриса пересекается с окружностью, описанной около этого треугольника, в точке . Тогда точка является центром окружности, описанной около четырёхугольника , где – центр окружности, вписанной в треугольник , а – центр вневписанной окружности.

Доказательство

Точка , как центр окружности, вписанной в треугольник , лежит на биссектрисе угла , а точка , как центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла, смежного с углом .

Вспомним, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Следовательно . Аналогично .

Следовательно, около четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть продолжение биссектрисы и пересекают окружность, описанную около треугольника в точке и .

Так как и – биссектрисы, то .

Обозначим эти пары углов соответственно и .

Тогда , так как он вписанный, а .

Следовательно, в треугольнике углы при основании равны, то есть он равнобедренный .

Таким образом .

Таким образом точка равноудалена от всех вершин треугольник , и, следовательно, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Но эта окружность является также окружностью, описанной около четырёхугольника .

Свойство 2

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

Доказательство

Рассмотрим треугольник .

Пусть вневписанная окружность и вписанная окружность касаются стороны в точках и .

Докажем, что точки и симметричны относительно точки – середины стороны .

Пусть точка – это точка пересечения продолжения биссектрисы с описанной окружностью.

По первому свойству – это центр окружности, описанной около четырехугольника .

Следовательно, точка лежит на серединном перпендикуляре к стороне , то есть точка проецируется в точку .

Кроме того, так как , то по теореме Фалеса (так как радиусы проведенные в точку касания перпендикулярны касательной и - серединный перпендикуляр к , то ).

Свойство 3

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник .

Пусть вневписанная окружность касается прямых и в точках и соответственно.

Докажем, что .

Действительно, так как касательные, проведенные к окружности из одной точки равны, то и .

Учитывая эти соотношения, получаем .

Таким образом .

Совйство 4

.

Доказательство

Рассмотрим треугольник .

Пусть – вневписанная окружность этого треугольника, а – его стороны.

Докажем, что .

Пусть – это точки касания окружности и прямых и соответственно.

Соединим центр вневписанной окружности с вершинами треугольника.

Тогда

.

Свойство 5

.

Доказательство

По свойству .

Кроме того .

Тогда .

Подставляя эти соотношения в формулу Герона, получим , или .

Свойство 6

.

Доказательство

По свойству .

Тогда $p=\dfrac{S}{r}, p-a=\dfrac{S}{r_a}, p-b=\dfrac{S}{r_b}, p-c=\dfrac{S}{r_c}$.

Подставляя эти соотношения в формулу Герона, получим .

Возводя это равенство в квадрат и выражая , получим .

Свойсвто 7

.

Доказательство

Напишем цепочку равенств, учитывая свойство , .

Свойство 8

.

Доказательство

По свойству , учитывая формулу Герона, , .

Свойство 9

Исходный треугольник является ортотреугольником треугольника .

Доказательство

Достаточно доказать, что биссектриса угла является высотой треугольника , то есть нужно доказать, что .

Отрезки и являются биссектрисами смежных углов и , следовательно, .

Аналогично и являются высотами треугольника .

Свойство 10

.

Доказательство

Выразим все радиусы через площадь и стороны: .

Тогда

Свойство 11

Доказательство

Подставим формулы в левую часть равенства:

Из формулы Герона следует, что , поэтому