Теорема

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле .

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, а её центр совпадает с серединой гипотенузы.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим треугольник с прямым углом .

Пусть в него вписана окружность с центром и радиусом , которая касается катетов и в точках и соответственно.

Тогда – квадрат, так как все его углы прямые и .

Тогда .

Но , то есть .

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим треугольник с прямым углом .

Пусть – середина гипотенузы .

Тогда , то есть точка равноудалено от всех вершин треугольника.

Следовательно, точка является центром окружности, описанной около треугольника , радиус которой равен , то есть половине гипотенузы.