\section{Правильные многоугольники} \begin{dfn}\label{def30} Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.\end{dfn} \begin{thm}[о центре правильного многоугольника]\label{122} В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от всех его сторон и от всех его вершин.\end{thm} \begin{proof}\ \par Рассмотрим правильный многоугольник. Обозначим . Проведем в нём биссектрисы углов и . Пусть они пересекаются в точке . Докажем, что Биссектрисы остальных углов данного многоугольника тоже проходят через точку .\par Так как и – это биссектрисы, а углы правильного многоугольника равны, то . Следовательно, треугольник равнобедренный, то есть . Кроме того $\tri AOB=\tri BOCOA=OB, AB=BC, \a 2=\a4$). Следовательно, и . Таким образом является биссектрисой угла , а точка равноудалена от вершин и . Аналогичные рассуждение теперь можно провести для вершины , и потом по очереди для всех других вершин многоугольника.\par Таким образом точка равноудалена от всех вершин многоугольника, в силу равенства треугольников, кроме того точка равноудалена от всех сторон многоугольника, так как это точка пересечение биссектрис. \end{proof} \begin{sle}\label{sle122.1}\ Для любого правильного многоугольника существует вписанная и описанная окружность, причём их центры совпадает. Вписанная и описанная окружность для правильного многоугольника единственны. \end{sle} \begin{proof}\ \par Существование и совпадение центров вписанной и описанной окружности непосредственно следуют из теоремы \ref{122}.\par Докажем единственность. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например . Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну окружность.\par Теперь предположим, что в правильный многоугольник можно вписать окружность с центром и радиусом и другую окружность с центром и радиусом . Тогда центр равноудалён от всех сторон многоугольника, следовательно, точка лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой пересечения этих биссектрис. Радиус окружности равен расстоянию от точки до сторон многоугольника, то есть . Таким образом вторая окружность совпадает с первой. \end{proof} \begin{sle}\label{sle122.2} Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. \end{sle} \begin{proof}\ \par Утверждение следует из того, что радиус вписанной окружности является высотой равнобедренного треугольника . \end{proof} \begin{thm}\label{123}\ Пусть – это угол правильного -угольника, а – угол между радиусами описанной окружности, проведёнными к соседним вершинам. Тогда выполняются следующие соотношения \begin{enumerate}

\item $\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n},\ \beta=\frac{360^\circ}{n}$.
\item $a=2R\sin{\frac{\beta}{2}}=2R\cos{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $a=2r\tg{\frac{\beta}{2}}=2r\ctg{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $r=R\cos{\frac{\beta}{2}}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $S=pr=\frac{1}{2}nr^2\sin{\beta}$.

\end{enumerate} \end{thm} \begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{116}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{123}.}}\label{pic116} \end{center} \end{figure} \begin{proof}\ \par \begin{enumerate}

\item По теореме \ref{24} сумма углов $n$-угольника равна
$180\deg(n-2)$, следовательно, каждый угол будет равен
$\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n}$. Кроме того полный угол $O$
разделён радиусами, проведёнными к вершинам многоугольника, на $n$
частей, следовательно, $\beta=\frac{360\deg}{n}$.\par

Проведем высоту треугольника . Так как треугольник

$AOB$ равнобедренный, то $\a AOM=\frac{\beta}{2}$, $AM=\frac{a}{2}$. Кроме того $\a
OAM=\frac{\alpha}{2}$. Из треугольника $AOM$ получаем $a=2r\tg{\frac{\beta}{2}}=2r\ctg{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $\sin{\frac{\beta}{2}}=\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{R}$, следовательно, $a=2R\sin{\frac{\beta}{2}}=2R\cos{\frac{\alpha}{2}}$.
\item $\tg{\frac{\beta}{2}}=\ctg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{a}{2}}{r}$, следовательно,
\item $\cos{\frac{\beta}{2}}=\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{R}$,
следовательно, $r=R\cos{\frac{\beta}{2}}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$.
\item Формула $S=pr$ следует из теоремы \ref{101}. C другой стороны $S=n\cdot S_{AOB}=n\cdot\frac{1}{2}R^2\sin{\beta}$ можно

\end{enumerate} \end{proof} \begin{sle}\label{sle123-1} Периметры правильных -угольников относятся как радиусы описанных около них окружностей. \end{sle} \begin{proof}\ \par Рассмотрим два правильных -угольника со сторонами и соответственно. Используя формулы из пунктов и теоремы \ref{123} выпишем периметры и данных многоугольников: $P_n=n\cdot a_n=n\cdot 2R\sin{\frac{180\deg}{n}}, P'_n=n\cdot a'_n=n\cdot 2R'\sin{\frac{180\deg}{n}}$. Следовательно, . \end{proof} \begin{thm}[правильный треугольник]\label{124}\ \begin{enumerate}

\item $\alpha=60^\circ$.
\item $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
\item $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
\item $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
\item $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
\item $R=2r$.

\end{enumerate} \end{thm}

\begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{118}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{124}.}}\label{pic118} \end{center} \end{figure}

\begin{proof}\ \par \begin{enumerate}

\item $\alpha=\frac{180\deg}{3}=60\deg$.
\item
$S=\frac{1}{2}a^2\sin{60\deg}=\frac{1}{2}a^2\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
\item
$h=\frac{2S}{a}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
\item
$r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
\item
$R=\frac{a^3}{4S}=\frac{a^3}{a^2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
\item $R=2r$, в силу предыдущих двух пунктов.

\end{enumerate} \end{proof} \begin{thm}[Квадрат]\label{125}\ \begin{enumerate}

\item $\alpha=90^\circ$.
\item $S=a^2$.
\item $d=a\sqrt{2}$.
\item $r=\frac{a}{2}$.
\item $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

\end{enumerate} \end{thm}

\begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{119}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{125}.}}\label{pic119} \end{center} \end{figure}

\begin{proof}\ \par Первые два пункта теоремы очевидны. Третий следует из теоремы Пифагора . , . \end{proof} \begin{thm}[Правильный шестиугольник]\label{126}\ \begin{enumerate}

\item $\alpha=120^\circ$.
\item $R=a$, $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
\item $d_1=2a,\ d_2=a\sqrt{3}$
\item Малая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
\item Противоположные стороны правильного шестиугольника
параллельны между собой, а также параллельны большой диагонали.
\item $S=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

\end{enumerate} \end{thm} \begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{117}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{126}.}}\label{pic117} \end{center} \end{figure} \begin{proof}\ \par \begin{enumerate}

\item $\alpha=\frac{180\deg(6-2)}{6}=120\deg$.
\item Так как $BO$ и $CO$ -- биссектрисы, то $\a CBO=\a
BCO=60\deg$. Следовательно, треугольник $BOC$ равносторонний.
Значит $R=a, r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
\item $\a BOC+\a COD+\a DOE=3\cdot60\deg=180\deg$. Следовательно,
точки $B, O$ и $E$ лежат на одной прямой, значит $BE$ --
диагональ, и $BE=2R=2a$.
\item Четырёхугольник $OABC$ -- ромб, следовательно, $OB\perp AC$.
Четырёхугольник $OBCD$ -- ромб, поэтому $BO\parallel CD$.
Следовательно $AC\perp CD$.
\item $S=6\cdot S_{AOB}=6\frac{1}{2}a^2\sin{60\deg}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$

\end{enumerate} \end{proof}

\section{Длина окружности. Площадь круга} \begin{dfn}\label{def-dlin-okr} Длина окружности – это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон. \end{dfn} \begin{dfn}\label{def-dlin-kriv-lin} Длина кривой линии приближённо равна длине вписанной ломанной и вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломанной и чем чаще располагаются вершины ломанной на данной кривой. \end{dfn} \begin{thm}\label{127} Длина окружности пропорциональна ее радиусу, то есть отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности. \end{thm}

\begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{120}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{127}.}}\label{pic120} \end{center} \end{figure}

\begin{proof}\ \par Пусть и – длины окружностей радиусов и (рис. \ref{pic120}). Впишем в каждую из них правильный -угольник и обозначим через и их периметры. \par По следствию \ref{sle123-1} имеем Это равенство справедливо при любом значении . Будем теперь неограничено увеличивать число . Так как , при $n\rightarrow \infty\frac{P_n}{P'_n}=\frac{C}{C'}$. Тогда в силу равенства \eqref{eq007} . Из этого равенства следует, что . \end{proof} \begin{dfn}\label{sle127.1} Отношение длины окружности к её диаметру обозначается числом . То есть . Таким образом длина окружности вычисляется по формуле . \end{dfn} \begin{thm}\label{127.2} Периметры правильных -угольников, описанных около окружности , приближаются к длине окружности . \end{thm}

\begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{121}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{127.2}.}}\label{pic121} \end{center} \end{figure}

\begin{proof}\ \par Пусть правильный -угольник описан около окружности с радиусом и центром (рис. \ref{pic121}). Соединим отрезками точку с вершинами многоугольника . Эти отрезки пересекут окружность в точках, которые являются вершинами правильного -угольника , вписанного в . пусть сторона -угольника касается окружности в точке , а отрезки и пересекают в точках и . Радиус пересечёт отрезок в середине – точке .\par Отношение периметров и правильных -угольников и равно отношению их сторон и , то есть отношению их половин . И так как и , то . Поэтому .\par Когда число неограниченно увеличивается, приближается к , то есть к , а – к длине окружности , то есть к . Следовательно, периметры правильных -угольников, описанных около окружности , как и периметры вписанных -угольников, приближаются к длине окружности . \end{proof} \begin{thm}\label{128} Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в , равна . \end{thm} \begin{proof}\ \par Так как длина всей окружности равна , то длина дуги в равна . Поэтому длина дуги, соответствующей центральному углу в выражается формулой . \end{proof} \begin{thm}[о площади круга]\label{129} Площадь круга радиуса выражается формулой . \end{thm}

\begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{122}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{129}.}}\label{pic122} \end{center} \end{figure}

\begin{proof}\ \par Рассмотрим правильный -угольник , вписанный в окружность, ограничивающую круг (рис. \ref{pic122}). Очевидно, площадь данного круга больше площади многоугольника , так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С другой стороны, площадь круга, вписанного в многоугольник, меньше , так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак, .\par По пункту теоремы \ref{123} имеем , где – радиус вписанной в многоугольник окружности. При , поэтому . Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремиться» к описанной окружности, поэтому при $n\rightarrow \inftyS_n=\frac{1}{2}P_nr_nP_nA_1A_2\ldots A_n$. Учитывая, что при , получаем $S=\frac{1}{2}2\pi R\cdot R=\pi R^2$. \end{proof} \begin{sle}\ \label{sle129.1} \begin{enumerate}

\item Площадь сектора, соответствующего центральному углу в
$\alpha^\circ$, выражается формулой $S_{\mbox{сек}}=\frac{\pi
R^2\alpha}{360}$.
\item Площадь сегмента, соответствующего центральному углу в
$\alpha^\circ$, выражается формулой $S_{\mbox{сегм}}=\frac{\pi
R^2\alpha}{360}-\frac{1}{2}R^2\sin{\alpha}$.

\end{enumerate} \end{sle}

\begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{123}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Следствие \ref{sle129.1}.}}\label{pic123} \end{center} \end{figure}

\begin{proof}\ \par Докажем первый пункт. Так как площадь всего круга равна , то площадь сектора, ограниченного дугой в , равна $\frac{\pi R^2}{360}S$ сектора, ограниченного дугой в равна .\par Докажем второй пункт. Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника , таким образом $S_{\mbox{сегм}}=S_{\mbox{сек}}-S_{\tri AOB}=\frac{\pi

R^2\alpha}{360}-\frac{1}{2}R^2\sin{\alpha}.$

\end{proof}