\section{Векторы} \subsection{Определение вектора} \begin{dfn}\label{def31} Величина, которая характеризуется своим численным значением, направлением и складывается по правилу треугольника, называется векторной величиной.\end{dfn} \begin{dfn}\label{def32} Направленный отрезок – это отрезок один конец которого считается началом, а другой концом.\end{dfn} \begin{dfn}\label{def33.1} Направленные отрезки называются сонаправленными, если выполняется одно из двух следующих условий: \begin{enumerate}

\item отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими
отрезками в пересечении дают луч (рис. \ref{pic124} a);
\item отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в
одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей начала
направленных отрезков (рис. \ref{pic124} b).

\end{enumerate} \end{dfn} \begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{124-1}
a) \end{center} \end{minipage} \hspace{1cm} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{124-2}
b) \end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Определение \ref{def33.1}.}}\label{pic124} \end{center} \end{figure}

\begin{dfn}\label{def33.2} Направленные отрезки называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и при этом лучи, задаваемые этими направленными отрезками лежат по одну сторону от некоторой непараллельной им прямой, то есть в одной полуплоскости, ограниченной этой прямой (рис. \ref{pic125}). \end{dfn}

\begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{125}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Определение \ref{def33.2}.}}\label{pic125} \end{center} \end{figure}

\begin{dfn}\label{def33.3} Векторы и сонаправлены, если найдётся такая прямая , что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой и, во-вторых, лучи и лежат по одну сторону от этой прямой (рис. \ref{pic126}). \end{dfn}

\begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{126}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Определение \ref{def33.3}.}}\label{pic126} \end{center} \end{figure}

\begin{utv}\label{utv33} Определения \ref{def33.1}, \ref{def33.2} и \ref{def33.3} эквивалентны. \end{utv} \begin{dfn}\label{def34} Направленные отрезки называются противоположно направленными, если выполняется одно из двух следующих условий: \begin{enumerate}

\item отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими
отрезками в пересечении дают отрезок, точку или пустое множество;
\item отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в
разных полуплоскостях относительно прямой, соединяющей начала
направленных отрезков.

\end{enumerate} \end{dfn} \begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{127-1}
a) \end{center} \end{minipage} \hspace{1cm} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{127-2}
b) \end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Определение \ref{def34}.}}\label{pic127} \end{center} \end{figure}

\begin{dfn}\label{def34.2} Направленные отрезки называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), но не сонаправлены. \end{dfn} \begin{zam} Определения \ref{def34} и \ref{def34.2} эквивалентны. \end{zam} \begin{dfn}\label{def35} Направленные отрезки называются равными, если они равны по длине и сонаправлены.\end{dfn} \begin{dfn}\label{def36} Вектор – это класс эквивалентности направленных отрезков, по отношению эквивалентности «равенство» (или проще: класс равных направленных отрезков).\end{dfn} \begin{dfn}\label{def37} Для любой точки , вектор называется ноль-вектором и обозначается .\end{dfn} \begin{dfn}\label{def38} Вектора называются коллинеарными, если их направленные отрезки сонаправлены или противоположно направлены.\end{dfn} \begin{thm}\label{130} Два вектора сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены. \end{thm}

\begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{128}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{130}.}}\label{pic128} \end{center} \end{figure}

\begin{proof}\ \par Пусть векторы и сонаправлены с вектором (рис. \ref{pic128}). Докажем, что . Так как , то по определению \ref{def33.3} найдется такая перпендикулярная им прямая , от которой лучи и лежат по одну сторону. Точно так же для векторов и найдётся перпендикулярная им прямая , от которой лучи и лежат по одну сторону. Если прямые и не совпадают, то они параллельны (как перпендикулярные одной и той же прямой ). Тогда из двух полуплоскостей, которые ограничены прямыми и и содержат луч , одна содержит другую. Будем считать, что это полуплоскость ограниченная прямой . Эта полуплоскость содержит лучи , и . Тем самым выполнено второе условие определения \ref{def33.3}. Кроме того выполнено и первое условие, так как векторы и перпендикулярны прямой . Поэтому $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}$. \end{proof} \begin{dfn} \label{def39} Векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены.\end{dfn} \begin{thm}\label{131} \begin{enumerate}

\item Каждый вектор равен самому себе.
\item Если вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{b}$, то вектор
$\vec{b}$ равен вектору $\vec{a}$.
\item Два вектора равные третьему вектору, равны.

\end{enumerate} \end{thm} \begin{proof}\ \par Первые два свойства очевидно вытекают из определения равенства векторов.\par Докажем третье свойство. Пусть и . Тогда и $\vec{a}\upuparrows \vec{b}|\vec{c}|=|\vec{b}|\vec{c}\upuparrows \vec{b}|\vec{a}|=|\vec{c}|$. А из теоремы \ref{130} вытекает, что . Поэтому . \end{proof} \begin{thm}\label{132} Если четырехугольник – параллелограмм, то .\end{thm} \begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{129}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{132}.}}\label{pic129} \end{center} \end{figure}

\begin{proof}\ \par Из того, что параллелограмм следует, что и (рис. \ref{pic129}). Кроме того лучи и лежат по одну сторону от прямой , следовательно вектора и сонаправлены и равны по модулю. Таким образом . \end{proof} \begin{thm}\label{133} Если , то .\end{thm} \begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{130}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{133}.}}\label{pic130} \end{center} \end{figure} \begin{proof}\ \par Из равенства векторов и следует, что и , таким образом – параллелограмм (рис. \ref{pic130}). Следовательно, по теореме \ref{132} . \end{proof} \begin{thm}\label{134} От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору , и при том только один.\end{thm} \begin{figure}[H] \begin{center} \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{center} \includegraphics[width=100pt]{131}
\end{center} \end{minipage} \caption{\footnotesize\textit{Теорема \ref{134}.}}\label{pic131} \end{center} \end{figure}

\begin{proof}\ \par Рассмотрим вектор (рис. \ref{pic131}). Проведем через точку прямую , параллельную (если – точка прямой , то в качестве прямой возьмём саму прямую ). На прямой отложим отрезки и , равные отрезку , и выберем из векторов и тот, который сонаправлен с вектором . Этот вектор и является искомым вектором, равным вектору . Единственность следует из аксиомы \ref{aks2} (об откладывании отрезка) и аксиомы \ref{aks5} (о параллельных прямых). \end{proof}