\subsection{Линейные операции с векторами}

Правило треугольника

Чтобы получить сумму векторов и , нужно от какой-либо точки отложить вектор , затем от точки отложить вектор (рис. \ref{pic132}). Вектор называется суммой векторов и . \end{dfn}

\includegraphics[width=100pt]{132}

Теорема

Определение \ref{def40} корректно, то есть сумма векторов не зависит от выбора точки . \end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{133}

Докажем, что если отложить вектор от точки , то есть , а затем от точки отложить вектор , то сумма векторов будет равна вектору , то есть (рис. \ref{pic133}).\par Так как , то по теореме \ref{133} имеем . Аналогично из равенства следует, что . Поэтому . Но из этого равенства по той же теореме \ref{133} следует, что . \end{proof} \begin{dfn}\label{def41} Разностью векторов и называется такой вектор , что . Принято обозначать (рис. \ref{pic134}).\end{dfn}

\includegraphics[width=100pt]{134}

\begin{sle}\label{sle.def41} (рис. \ref{pic134}). \end{sle}

\begin{thm}[Правило параллелограмма]\label{135} Если – параллелограмм, то \end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{135}

Доказательство

Так как – параллелограмм, то . Следовательно, . \end{proof}

Теорема (свойства сложения векторов)

Для любых векторов и

.

.

.

\includegraphics[width=100pt]{136a}
\includegraphics[width=100pt]{136b}
\includegraphics[width=100pt]{136c}
\includegraphics[width=100pt]{136d}

\begin{proof}\ \par Первой свойство очевидно. Докажем второе свойство. Возможны два случая: векторы и неколлинеарны, 2) вектора и коллинеарны. Рассмотрим первый случай. Пусть вектора и неколлинеарны. Отложим их от точки : и – и построим на этих векторах параллелограмм (рис. \ref{pic136} a). Поскольку $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и , то . \par Рассмотрим второй случай. Пусть вектора и коллинеарны. Если вектора и сонаправлены, то можно их последовательно отложить от точки двумя способами, то есть , или (рис. \ref{pic136} b). Докажем, что . Вектора и очевидно сонаправлены, кроме того их модули равны . Следовательно, эти вектора равны.\par Рассмотрим случай, когда вектора и противоположно направлены (рис. \ref{pic136} c). Пусть кроме того . Тогда , при этом . C другой стороны , при этом . Таким образом модули векторов и равны, кроме того они сонаправлены, следовательно, .\par Докажем третий пункт теоремы. Отложим от точки вектор , затем от точки вектор , а потом от точки вектор (рис. \ref{pic136} d). Тогда . C другой стороны, . Итак . \end{proof} \begin{dfn}\label{def42} Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается противоположным самому себе (рис. \ref{pic137}).

\includegraphics[width=100pt]{137}

Теорема

.

Если , то .

Доказательство

Докажем первый пункт. Пусть . Тогда . Следовательно, .\par Докажем второй пункт. Пусть . Тогда, если , то поскольку , то . Таким образом, вектора и равны по модулю и противоположны по направлению, то есть векторы и противоположны. \end{proof} \begin{thm}\label{137} Для любых двух векторов и справедливо равенство . \end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{138}

\begin{proof}\ \par Пусть . По правилу треугольника . Кроме того . Поэтому . \end{proof} \begin{dfn}[о произведении вектора на число]\label{def43} Произведением вектора на число называется такой вектор , для которого выполняются два условия:\begin{enumerate}

\item $|x\cdot\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{a}|$
\item он сонаправлен с вектором $\vec{a}$, если $x>0$, и
противоположно направлен вектору $\vec{a}$, если $x<0$
\end{enumerate}

Если же или , то вектор (рис. \ref{pic138})

\includegraphics[width=100pt]{139a}
\includegraphics[width=100pt]{139b}

\begin{sle*}\label{sle.def43}\

для любого вектора .

для любого вектора .

Если и , то .

Если и , то .

\begin{proof}\ \par \begin{itemize}

\item По определению вектор $1\cdot \vec{a}$ по модулю равен
$1\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он сонаправлен с
$\vec{a}$, так как $1>0$.
\item По определению вектор $1\cdot \vec{a}$ по модулю равен
$|-1|\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он противоположнонаправлен с
$\vec{a}$, так как $-1<0$, следовательно, это вектор $-\vec{a}$.
\item Если $x\vec{a}=x\vec{b}$, то
$|x|\cdot|\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{b}|$, и так как $x\neq0$, то
$|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Кроме того, если $x>0$, то вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$
сонаправлены с $\vec{a}$, а если $x<0$, то они сонаправлены с
$-\vec{a}$. Таким образом $\vec{a}=\vec{b}$.
\item Если $x\vec{a}=y\vec{a}$, то
$|x|\cdot|\vec{a}|=|y|\cdot|\vec{a}|$, а так как
$\vec{a}\neq\vec{0}$, то на $|\vec{a}|$ можно сократить,
следовательно, $|x|=|y|$. А так как вектора $x\vec{a}$ $y\vec{a}$,
то числа $x$ и $y$ одного знака. Следовательно, $x=y$.

\end{itemize} \end{proof}

\begin{thm}[Характеристическое свойство коллинеарных векторов]\label{139} Вектор коллинеарен ненулевому вектору тогда и только тогда, когда . \end{thm} \begin{proof}\ \par Если , то векторы и коллинеарны по определению умножения вектора на число.\par Теперь докажем, что если , то найдется такое число , что . Если , то . Если же , то возможны два случая: \begin{enumerate}

\item $\vec{b}\upuparrows \vec{a}$, тогда
$x=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$. Действительно, вектор
$x\vec{a}$ будет сонаправлен с $\vec{b}$, так как $x>0$, кроме
того
$|x\vec{a}|=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cdot|\vec{a}|=|\vec{b}|$.
Следовательно, $\vec{b}=x\vec{a}$.
\item $\vec{b}\updownarrows \vec{a}$, тогда аналогично первому
случаю
$x=-\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.

\end{enumerate} \end{proof} \begin{sle}\label{sle139.1} Два вектора, отложенные от одной и той же точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число. \end{sle} \begin{proof}\ \par Рассмотрим вектора и . Если точка лежит на прямой , то вектора и коллинеарны по определению, и, следовательно .\par Обратно, если , то вектора и коллинеарны, а так как у них есть общая точка , то они лежат на одной прямой. \end{proof} \begin{thm}\label{142} Для любых чисел и любых векторов справедливы равенства: \begin{enumerate}

\item $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$;
\item $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$;
\item $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.

\end{enumerate} \end{thm} \begin{proof}\ \par \begin{enumerate}

\item Докажем, что для любых чисел $k$, $l$ и любого вектора $\vec{a}$
справедливо равенство $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$. Если $\vec{a}=\vec{0}$, то
справедливость этого равенство очевидна. Пусть $a\neq0$. Имеем:
$|(lk)\vec{a}|=|kl||\vec{a}|=|k||l||\vec{a}|=|k||l\vec{a}|=|k(l\vec{a})|$.\par
Далее, если $kl\geqslant0$, то $(kl)\vec{a}\upuparrows \vec{a}$ и $k(l\vec{a})\upuparrows
\vec{a}$; если же $kl<0$, то $(kl)\vec{a}\updownarrows \vec{a}$ и $k(l\vec{a})\updownarrows
\vec{a}$. И в том и в другом случае $(kl)\vec{a}\upuparrows k(l\vec{a})$.
Следовательно, $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$.
\item Докажем, что для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$
справедливо равенство $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$. Если $k=0$, или $\vec{a}=\vec{0}$, или
$\vec{b}=\vec{0}$, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть $k\neq0, \vec{a}\neq\vec{0},
\vec{b}\neq\vec{0}.$\par Возможны три случая.

\begin{enumerate}

\item $\vec{a}\upuparrows \vec{b}$. Тогда вектора $k(\vec{a}+\vec{b}), k\vec{a}$, $k\vec{b}$, а
следовательно, и $k\vec{a}+k\vec{b}$,
сонаправлены. Кроме того
$|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|+|\vec{b}|)=|k\vec{a}|+|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$. Следовательно,
$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.
\item $\vec{a}\updownarrows \vec{b}$. Пусть для определённости
$|\vec{a}|\geqslant|\vec{b}|$. Тогда и $|k\vec{a}|\geqslant|k\vec{b}|$. Тогда
$k(\vec{a}+\vec{b})\upuparrows(k\vec{a}+k\vec{b})$. Кроме того в этом случае
$|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|-|\vec{b}|)=|k\vec{a}|-|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$. Следовательно,
$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.
\item $\vec{a}\not\parallel \vec{b}$. Тогда отложим от какой-нибудь точки
$O$ векторы $\overrightarrow{OA_1}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{OA}=k\vec{a}$, а от точек $A_1$ и $A$ векторы
$\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{b}$ и $\overrightarrow{AB}=k\vec{b}$. Треугольники $OA_1B_1$ и $OAB$ подобны с
коэффициентом подобия $|k|$ по второму признаку подобия
треугольников. Следовательно, $\overrightarrow{OB}=k\cdot \overrightarrow{OB_1}=k(\vec{a}+\vec{b})$. C другой
стороны, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=k\vec{a}+k\vec{b}$. Итак, $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$.

\end{enumerate}

\item Докажем, что для любых чисел $k, l$ и любого вектора $\vec{a}$
справедливо равенство $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$. Если $k=l=0$, то
справедливость этого равенство очевидна. Пусть хотя бы одно из
чисел $k, l$ отлично от нуля. Для определённости будем считать,
что $|k|\geqslant|l|$, и, следовательно, $k\neq0$ и
$\left|\frac{l}{k}\right|\leqslant1$.\par
Рассмотрим вектор $\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a}$. Очевидно, $(\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a})\upuparrows
\vec{a}$. Далее, $|\vec{a}+\frac{l}{k}\vec{a}|=|\vec{a}|+\frac{l}{k}|\vec{a}|=(1+\frac{l}{k})\vec{a}$.
Умножая обе части этого равенства на $k$, получим, что справедливо
равенство $k\vec{a}+l\vec{a}=(k+l)\vec{a}$.

\end{enumerate} \end{proof} \begin{thm}[теорема «»]\label{140} Если точка лежит на отрезке , и , то . \end{thm}

\includegraphics[width=100pt]{140}

\begin{proof}\ \par Выберем произвольную точку и обозначим $\vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}, \vec{c}=\overrightarrow{OC}$ (рис. \ref{pic140}). Тогда , . Тогда $\vec{c}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\frac{\alpha}{\alpha+\beta}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}+\alpha \vec{b}-\alpha \vec{a}}{\alpha+\beta}=\frac{\beta \vec{a}+\alpha \vec{b}}{\alpha+\beta}=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \vec{a}+\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \vec{b}$, то есть . \end{proof}