Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Первый способ (без использования тригонометрии).

Рассмотрим два треугольника и , у которых и .

Докажем, что .

Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что .

Рассмотрим треугольник , у которого , $\angle 2=\angle B_1$.

Треугольники и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому .

C другой стороны, по условию .

Из этих двух равенств получаем .

Треугольники и равны по двум сторонам и углы между ними ( – общая, и , поскольку и .

Отсюда следует, что , а так как , то .

Второй способ (через тригонометрию).

Рассмотрим два треугольника и со сторонами и соответственно.

Пусть и . Докажем, что тогда .

Обозначим .
Тогда , .

По теореме косинусов в треугольнике :

Следовательно, , то есть стороны треугольников и пропорциональны.

Тогда по третьему признаку .