Замечательное свойство трапеции

В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство

Рассмотрим трапецию .

Пусть продолжения сторон и пересекаются в точке , точка – середина основания , а – это точка пересечения прямых и .

Докажем, что – это середина .

Так как , то и , причем коэффициент подобия в обоих случаях равен .

Тогда .

Таким образом – середина .

Пусть – точка пересечения диагоналей и .

Докажем, что точка принадлежит отрезку .

Треугольники и подобны с коэффициентом .

Следовательно, , и , как накрест лежащие.

Тогда по второму признаку подобия треугольников.

Следовательно, , а тогда – одна прямая.