[[:math-public:parallelogramm|Назад]] --- [[:math-public:index|Оглавление]] --- [[:math-public:parallelogramm|Вперед]] =======Многоугольники.======= ======Ломаная====== =====Определение===== **Ломаной линией**, или короче, **ломаной**, называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной. {{:math-public:200.jpg?direct&300|}} =====Виды ломаной===== - Ломаная называется **замкнутой**, если начало первого отрезка совпадает с концом последнего. - Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется **простой**. {{:math-public:201.jpg?direct&100|}} {{:math-public:202.jpg?direct&100|}} {{:math-public:203.jpg?direct&100|}} {{:math-public:204.jpg?direct&100|}} ======Многоугольники====== =====Определение===== Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется **многоугольником**. {{:math-public:205.jpg?direct&150|}} =====Замечание===== В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого. {{:math-public:206.jpg?direct&150|}} =====Свойство===== У каждого многоугольника есть угол, меньший $180^\circ$. ====Доказательство==== {{:math-public:207.jpg?direct&300|}} Пусть дан многоугольник $P$. Проведем какую-нибудь прямую, не пересекающую его. Будем перемещать ее параллельно в сторону многоугольника. В некоторый момент мы впервые получим прямую $a$, имеющую с многоугольником $P$ хотя бы одну общую точку. От этой прямой многоугольник лежит по одну сторону (при этом некоторые его точки лежат на прямой $a$). На прямой $a$ лежит хотя бы одна вершина многоугольника. В ней сходится две его стороны, расположенные по одну сторону от прямой $a$ (считая и тот случай, когда одна из них лежит на этой прямой). А значит, при этой вершине угол меньше развернутого. =====Определение===== Многоугольник называется **выпуклым**, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют **невыпуклым**. {{:math-public:208.jpg?direct&150|}} {{:math-public:209.jpg?direct&150|}} ====Замечание==== Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника. {{:math-public:210.jpg?direct&200|}} =====Свойства выпуклого многоугольника===== - У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\circ$. - Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника (в частности, любая его диагональ), содержится в этом многоугольнике. ====Доказательство==== ===Докажем первое свойство=== {{:math-public:212.jpg?direct&150|}} Возьмем любой угол $A$ выпуклого многоугольника $P$ и его сторону $a$, идущую из вершины $A$. Пусть $l$ -- прямая, содержащая сторону $a$. Так как многоугольник $P$ выпуклый, то он лежит по одну сторону от прямой $l$. Следовательно, и его угол $A$ лежит по одну сторону от этой прямой. Значит угол $A$ меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$. ===Докажем второе свойство=== {{:math-public:211.jpg?direct&150|}} Возьмем любые две точки $A$ и $B$ выпуклого многоугольника $P$. Многоугольник $P$ является пересечением нескольких полуплоскостей. Отрезок $AB$ содержится в каждой из этих полуплоскостей. Поэтому он содержится и в многоугольнике $P$. =====Определение===== **Диагональю многоугольника** называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины. {{:math-public:213.jpg?direct&150|}} =====Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)===== Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $\dfrac{n(n-3)}{2}$. ====Доказательство==== {{:math-public:214.jpg?direct&150|}} Из каждой вершины n-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ в соседние вершины и в саму эту вершину). Если посчитать все такие возможные отрезки, то их будет $n\cdot(n-3)$, так как вершин $n$. Но каждая диагональ будет посчитана дважды. Таким образом, количество диагоналей n-угольника равно $\dfrac{n(n-3)}{2}$. =====Теорема (о сумме углов n-угольника)===== Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$. {{:math-public:021.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$. Возьмём внутри этого многоугольника произвольную точку $O$. Сумма углов всех треугольников $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, $\ldots$, $A_{n-1}OA_n$ равна $180^\circ\cdot n$. C другой стороны эта сумма складывается из суммы всех внутренних углов многоугольника и полного угла $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=360^\circ$. Тогда сумма углов рассматриваемого $n$-угольника равна $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$. =====Теорема===== Сумма углов невыпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$. {{:math-public:021_1.jpg?direct&300|}} (без доказательства) =====Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)===== Сумма внешних углов выпуклого $n$-угольника равна $360^\circ$. {{:math-public:011.jpg?direct&300|}} ====Доказательство==== Внешний угол при вершине $A_1$ равен $180^\circ-\angle A_1$. Сумма всех внешних углов равна: $\sum\limits_{n}(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_{n}A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n-2)=360^\circ$.