Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – два треугольника, у которых $\angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.

Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.

По теореме о сумме углов треугольника $\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1$.

Докажем, что стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle C=\angle C_1$, то $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}$ и $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{CA\cdot CB}{C_1A_1\cdot C_1B_1}$.

Из этих равенств следует, что $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}$.

Аналогично, используя равенство $\angle A=\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$, получаем, что $\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{CA}{C_1A_1}$.

Итак, стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – два треугольника, у которых $\angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1$.

Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.

По теореме о сумме углов треугольника $\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1=\angle C_1$.

Докажем, что стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, то по теореме синусов: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin{A}}{\sin{B}}=\dfrac{\sin{A_1}}{\sin{B_1}}=\dfrac{a_1}{b_1}$, следовательно $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}$.

Аналогично можно получить, что $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{c}{c_1}$.

Следовательно, $\dfrac{a}{a_1}=\dfrac{b}{b_1}=\dfrac{c}{c_1}$.