$ZH = \dfrac{2}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$

$OZ = \dfrac{1}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$

$OH = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$

По теореме Лейбница имеем:

$HA^2+HB^2+HC^2=3ZH^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$

$12R^2-(a^2+b^2+c^2)=3ZH^2+\frac13(a^2+b^2+c^2)$

$3ZH^2= 12R^2-\frac43(a^2+b^2+c^2)$

$ZH = \frac{2}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$

Тогда в силу свойств прямой Эйлера:
$OZ = \frac{1}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$

$OH = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$