preobrazovaniya_grafikov_breslav_l_a

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-17T21:20:26+00:00

Сдвиг аргумента * Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=f(x+a)$ при $a>0$ , нужно сдвинуть изначальный график влево на $a$. * Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=f(x-a)$$a>0$$a$$y=f(x)$$y=f(x)+a$$a>0$$a$$y=f(x)$$y=f(x)-a$$a>0$$a$$y=a\cdot f(x)$$a>1$$y=f(x)$$a$$Ox$$y=a\cdot f(x)$$01$$y=f(x)$$a$$Oy$$y=f(a\cdot x)$$0

primer-modul-funkcii-i-argumenta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-03T07:31:14+00:00

Модуль функции 1. $y=|f(x)|$2. $y=|f(x)|$3. $y=|f(x)|$4. $y=|f(x)|$5. $y=|f(x)|$6. $y=|f(x)|$7. $y=|f(x)|$8. $y=|f(x)|$9. $y=|f(x)|$10. $y=|f(x)|$11. $y=|f(x)|$12. $y=|f(x)|$13. $y=|f(x)|$14. $y=|f(x)|$15. $y=|f(x)|$ Модуль аргумента 1. $y=f(|x|)$2. $y=f(|x|)$3. $y=f(|x|)$4. $y=f(|x|)$5. $y=f(|x|)$6. $y=f(|x|)$7. $y=f(|x|)$8. $y=f(|x|)$9. $y=f(|x|)$10. $y=f(|x|)$11. $y=f(|x|)$12. $y=f(|x|)$13. $y=f(|x|)$14. $y=f(|x|)$15. $y=f(|x|)$

primer-perevorot-funkcii-i-argumenta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-03T07:25:58+00:00

Переворот функции 1. $y=-f(x)$2. $y=-f(x)$3. $y=-f(x)$4. $y=-f(x)$5. $y=-f(x)$6. $y=-f(x)$7. $y=-f(x)$8. $y=-f(x)$9. $y=-f(x)$10. $y=-f(x)$11. $y=-f(x)$12. $y=-f(x)$13. $y=-f(x)$14. $y=-f(x)$15. $y=-f(x)$ Переворот аргумента 1. $y=f(-x)$2. $y=f(-x)$3. $y=f(-x)$4. $y=f(-x)$5. $y=f(-x)$6. $y=f(-x)$7. $y=f(-x)$8. $y=f(-x)$9. $y=f(-x)$10. $y=f(-x)$11. $y=f(-x)$12. $y=f(-x)$13. $y=f(-x)$14. $y=f(-x)$15. $y=f(-x)$

primer-sdvig-argumenta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-03T12:30:36+00:00

Сдвиг аргумента 1. $y=f(x-3)$2. $y=f(x+4)$3. $y=f(x+3)$4. $y=f(x-1)$5. $y=f(x-4)$6. $y=f(x+3)$7. $y=f(x+4)$8. $y=f(x-3)$9. $y=f(x-3)$10. $y=f(x+2)$11. $y=f(x+4)$12. $y=f(x-3)$13.14.15.

primer-sdvig-funkcii

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-03T12:33:30+00:00

Сдвиг функции 1. $y=f(x)+4$2. $y=f(x)-4$3. $y=f(x)+2$4. $y=f(x)+2$5. $y=f(x)-3$6. $y=f(x)-4$7. $y=f(x)+3$8. $y=f(x)+3$9. $y=f(x)-4$10. $y=f(x)-2$11. $y=f(x)+3$12. $y=f(x)+3$13. $y=f(x)-4$14. $y=f(x)-2$15. $y=f(x)$

primer-szhatie-i-rastyazhenie-argumenta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-03T14:21:56+00:00

Сжатие аргумента 1. $y=f(2x)$2. $y=f(3x)$3. заменить $y=f(x)$4. $y=f(3x)$5. $y=f(2x)$6. $y=f(3x)$7. $y=f(3x)$8. $y=f(4x)$9. $y=f(2x)$10. $y=f(2x)$11. $y=f(2x)$12. $y=f(2x)$13. $y=f(2x)$14. $y=f(3x)$15. $y=f(x)$ Растяжение аргумента 1. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$2. $y=f\left(\dfrac{1}{3}\cdot x\right)$3. $y=f\left(\dfrac{1}{3}\cdot x\right)$4. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$5. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$6. $y=f\left(\dfrac{1}{3}\cdot x\right)$7. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cd…

primer-szhatie-i-rastyazhenie-funkcii

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-03T15:28:49+00:00

Сжатие функции 1. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$2. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$3. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$4. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$5. $y=f\left(\dfrac{1}{4}\cdot x\right)$6. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$7. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$8. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$9. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$10. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$11. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$12. $y=f\left(\dfrac{1}{2}\cdot x\right)$13…

priznaki-parallelogramma

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T14:00:06+00:00

Признаки параллелограмма * Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм. * Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.$ABCD$$AB=CD, BC=AD$$ABCD$$AC$$\triangle ACB$$\triangle ACD$$\angle 3=\angle 4$$AB$$CD$$AC$$AB\parallel CD$$\angle 1=\angle 2$$BC\parallel AD$$ABCD$$ABCD$$AB=CD$$ABCD$$AC$$\triangle ACB$$\triangle ACD$$AB=CD$$AC$$\angle 3=\angle 4$$BC=AD$$ABCD$$ABCD$$A…

priznaki-ravenstva-treugolnikov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-06T08:15:17+00:00

Признаки равенства треугольников Определение Треугольник -- это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.$AB$$O$$A$$B$$OA$$OB$$OC$$OD$$\angle COA=\angle DOB$$ и $$CO$$O$$OC_1$$\angle COA=\angle BOC_1$$OB$$\angle DOB$$\angle COC_1$$ABC$$A_1B_1C_1$$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$\angle A=\angle A_1$$ABC$$A_1B_1C_1$$A$$A_1$$AB$$AC$$A_1B_1$$A_1C_1$$AB=A_1B_1$$AC=A_1C_1$$AB$$A_1B_1$$AC$$A_1C_1$$B$$B_1$$C$$C_1$$…

priznaki_delimosti

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-07-03T11:36:53+00:00

Признаки делимости Признак делимости на 2 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

priznaki_parallelogramma

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-04-17T14:06:52+00:00

priznaki_podobiya_treugolnikov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-08T14:13:45+00:00

Подобие треугольников Определение Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.$k$$ABC$$A_1B_1C_1$$k$$S$$S_1$$\angle A=\angle A_1$$\dfrac{S}{S_1}=\dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}=k^2$

proekciya-vectora

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-06-12T20:56:15+00:00

Определение Проекцией точки $M$ на прямую $a$ называется основание перпендикуляра, проведенного из точки $M$ к прямой $a$, если точка $M$ не лежит на прямой $a$$M$$a$$a$$a$$\angle POQ$$AB$$OP$$A_1$$B_1$$A$$B$$OQ$$A_1B_1$$AB$$OQ$$AB$$A_1B_1$$A_1B_1$$AB$$M_1$$M$$AB$$OQ$$M_1$$A_1B_1$$AA_1$$MM_1$$OQ$$A_1$$MM_1$$A$$B_1$$MM_1$$AB$$A_1$$B_1$$MM_1$$M_1$$A_1$$B_1$$A_1B_1$$M_1$$A_1B_1$$AB$$M_1N$$OQ$$A$$A_1$$AA_1$$M_1N$$B$$B_1$$M_1N$$A_1$$B_1$$A$$B$$M_1N$$M_1N$$AB$$M$$OQ$$M_1$$A_1$$B_1$$OQ$$POQ$$A_1$$OQ$$…

proporcionalnye_otrezki_v_kruge

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-01-26T19:38:02+00:00

Пропорциональные отрезки в круге Теорема о произведении отрезков хорд Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды, равно произведению отрезков другой хорды.$AB$$CD$$E$$AE\cdot EB=CE\cdot ED$$ADE$$CBE$$\angle 1=\angle 2=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BD}$$\angle 3=\angle 4$$\triangle ADE\sim\triangle CBE$$\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{DE}{BE}$$AE\cdot EB=CE\cdot ED$$M$$MK$$K$$A$$B$$MK^2=MA\cdot MB$$M$$MK$$MB$$A$$MK^2=MA\cdot MB$$\alpha=\arc{AK}$$\angle B=\dfrac{\al…

proporcionalnye_otrezki_v_pryamougolnom_treugolnike

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T17:43:28+00:00

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена высота $CH$, $AB=c, BC=a, CA=b, AH=b_c, BH=a_c$$h=\sqrt{a_cb_c}$$h=\frac{ab}{c}$$\dfrac{a_c}{b_c}=\dfrac{a^2}{b^2}$$a^2=a_cc$$ABC$$ACH$$CHB$$ABC$$\angle 2=90^\circ-\angle 1$$CHA$$\angle 3=90^\circ-\angle 1$$\angle 2=\angle 3$$\angle 4=90^\circ-\angle 3=\angle 1$$ABC$$ACH$$CHB$$ABC$$ACH$$\dfrac{h}{a}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{b_c}{b}$$h=\dfrac{ab}{c}$$ACH$$BCH$$\dfrac{b}…

pryamaya_ejlera

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T14:01:05+00:00

Теорема (прямая Эйлера) Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $Z$ -- центроид, $H$ -- ортоцентр, $O$ -- центр описанной окружности. Тогда точки $O$, $Z$ и $H$ лежат на одной прямой (в таком порядке), и $\overrightarrow{ZO}=-\frac12\overrightarrow{ZH}$$Z$$-\frac12$$A,B,C$$A_1, B_1, C_1$$O$$A_1B_1C_1$$H$$O$$H$$Z$$O$$\overrightarrow{ZO}=-\frac12\overrightarrow{ZH}$$|ZH|=x, |ZO|=2x, |OH| = 3x$…

pryamougolnik-romb-kvadrat

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T14:16:32+00:00

Прямоугольник Ромб Квадрат

pryamougolnik

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T14:17:42+00:00

Прямоугольник Определение * Прямоугольник - это параллелограмм с прямым углом. * Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.$ABCD$$AC=BD$$BC=AD$$\triangle ABC$$\triangle DAB$$BC=AD$$AB$$\angle A = \angle B=90^\circ$$AC=BD$$ABCD$$AC=BD$$\tri ABC$$\triangle DAB$$BC=AD$$AC=BD$$AB$$\angle A=\angle B$$\angle A+\angle B=180^\circ$$\angle A=\angle B=90^\circ$$90^\circ$$CO$$D$$OA=OB=OC=OD$$ABCD$$\angle C=90^\circ$…

pryamougolnik_romb_kvadrat

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T14:45:43+00:00

Прямоугольник Ромб Квадрат

pryamougolnyj-treugolnik-mediana

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-09-03T19:39:17+00:00

Свойство Гипотенуза прямоугольного треугольника вдвое больше медианы, проведенной из вершины прямого угла. Доказательство Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$$C$$CM$$AM=MB$$2\cdot CM=AB$$CM\neq MA$$\angle MCA \neq \angle A$$AB$$M_1$$\angle M_1CA = \angle A$$\triangle M_1CA$$\angle B=90^\circ - \angle A=90^\circ - \angle M_1CA=\angle M_1CB$$M_1C B$$M_1C=M_1B$$M_1B=M_1A$$M_1$$AB$$ABC$$ABCD$$AB$$CD$$M$$2CM=CD=AB$$ABC$$MC$$MC=MA=MB$$ABC$$\triangle MCA$$\triangle BMC$$\angle A=\angle MCA=\…

pryamougolnyj-treugolnik-priznaki-ravenstva

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-12-25T19:35:51+00:00

Признаки равенства прямоугольных треугольников * По двум катетам. * По гипотенузе и острому углу. * По катету и прилежащему острому углу.$ABC$$A_1B_1C_1$$\angle C=\angle C_1=90^\circ, AB=A_1B_1, BC=B_1C_1$$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$\angle C=\angle C_1$$ABC$$A_1B_1C_1$$C$$C_1$$CA$$CB$$C_1A$$C_1B$$CB=C_1B_1$$B$$B_1$$A$$A_1$$A$$A_2$$C_1A_1$$A_1B_1A_2$$\angle A_1=\angle A_2$$\angle A_2$$B_1C_1A_2$$\angle A_1$$\angle C_1A_1B_1$$ABC$$A_1B_1C_1$$\angle C=\angle C_1=90^\circ, AB=A_1B_1, …

pryamougolnyj-treugolnik-s-uglom-v-30-gradusov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-09-03T20:13:55+00:00

Прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов Свойство Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$ABC$$\angle C=90^\circ, \angle A=30^\circ$$AB=2\cdot CB$$CM$$CM=MA=MB$$\triangle AMC$$\triangle BMC$$\angle A=\angle ACM$$\angle MCB=\angle CBM=60^\circ$$\triangle BCM$$BC=BM=\frac{1}{2}\cdot AB$$30^\circ$$ABC$$\angle C=90^\circ, BC=\frac{1}{2}\cdot AB$$\angle A=30^\circ$$CM$$CM = AM = BM$$CMB$$\angle BCM = 60^\circ.$$\angle ACM = 30^\circ$$…

public

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-13T10:45:59+00:00

Бреслав Лев Андреевич

racdrobi

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-07-31T09:17:56+00:00

[racdrobi.doc]

rasch_zadacha_3d

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-25T08:13:07+00:00

Все рёбра треугольной призмы равны 1. Высота из точки $A_1$ падает в середину ребра $AB$. а) Найдите все плоские углы в призме. б) Найдите все двугранные углы в призме.

rasstojanija_hi_hia

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T12:10:32+00:00

Лемма $r = 4R\sin \frac A2\sin \frac B2\sin\frac C2$ Теорема $$HI = \sqrt{2r^2-4R^2\cos A\cos B\cos C}$$ Доказательство Рассмотрим треугольник $\triangle A H I$. В нем $A P=2 R \cos A, A I=4 R \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ and $\angle H A I=\angle \frac{B-C}{2}$ По теореме косинусов имеем: $\begin{align}&\small PI^2=4R^2\cos^2A+16R^2\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2} -16R^2\cos A\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg(\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\Bigg)\\&…

rasstojanija_iia_iaib

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T12:15:08+00:00

Теорема $$I_aI=\frac{r}{\sin \frac{\beta}{2} \cdot \sin \frac{\gamma}{2}} = \sqrt{r^2+r^2_a+(p-b)^2+(p-c)^2}$$ $$I_aI_b=r \cdot \frac{\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}+\operatorname{ctg} \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}} = \dfrac{r\cos{\frac{\gamma}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}}=\dfrac{r\ctg{\frac{\gamma}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}}$$ $$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{b c}}$$ $$\operatorname{ctg} \frac{\alpha…

rasstojanija_oi_oia

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T12:14:33+00:00

Теорема $$OI^{2}=R^{2}-2 R r$$ Доказательство $(a+b+c)\overrightarrow{OI} = a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}$ $4p^2\cdot OI^2 = a^2 OA^2+b^2 OB^2 + c^2 OC^2 + 2ab \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} + 2bc \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} + 2ac \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}$$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(4p^2-\frac{abc}{R^2}(a+b+c)\right)$$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(4p^2-\frac{abc}{R^2}2p\right)$$OI^2 = R^2-\frac{abc}{2p}$$OI^2 = R^…

rasstojanija_zi_zia

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T12:15:44+00:00

Теорема Пусть $I$ -- инцентр, а $Z$ -- центроид произвольного треугольника $ABC$. Тогда $$IZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r^2-3p^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$$ Доказательство По теореме Лейбница: $IA^2+IB^2+IC^2 = 3IZ^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$ $IA^2+IB^2+IC^2 = 3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$ $r^2+(p-a)^2+r^2+(p-b)^2+r^2+(p-c)^2=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$ $3r^2+p^2-2ap+a^2+p^2-2pb+b^2+p^2-2pc+c^2=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$ $3r^2+3p^2-2ap-2pb-2pc+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$ $3r^2+3p^2-2p(a+b+c…

rasstojanija_zo_zh_oh

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T11:35:26+00:00

Лемма Если $O$ - центр описанной окружности $\triangle ABC$, то $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Доказательство Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором точка $O$ -- центр описанной окружности, точка $H$$D$$AC$$BB_1$$OD$$E$$DE=OD$$AOCE$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$$BH$$OE$$BC$$BH\parallel OE$$BH=2OD=OE$$BOEH$$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OH}$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\o…

rasstojanija_zo_zh_oh_cherez_pryamuju_ajlera

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T13:54:53+00:00

Теорема $ZH = \dfrac{2}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ $OZ = \dfrac{1}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ $OH = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ Доказательство По теореме Лейбница имеем: $HA^2+HB^2+HC^2=3ZH^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$ $12R^2-(a^2+b^2+c^2)=3ZH^2+\frac13(a^2+b^2+c^2)$ $3ZH^2= 12R^2-\frac43(a^2+b^2+c^2)$ $ZH = \frac{2}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ Тогда в силу свойств прямой Эйлера: $OZ = \frac{1}{3}\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$ $OH = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$…

ravenstvo-vektorov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-09-06T15:13:34+00:00

Равенство векторов Определение Векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены. Теорема * Каждый вектор равен самому себе.$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{b}$$\vec{a}$$\vec{a}=\vec{b}$$\vec{c}=\vec{b}$$|\vec{a}|=|\vec{b}|$$\vec{a}\upuparrows \vec{b}$$|\vec{c}|=|\vec{b}|$$|\vec{a}|=|\vec{c}|$$\vec{a}\upuparrows \vec{c}$$\vec{a}=\vec{c}$$ABCD$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$ABCD$$AB=CD$$AB\parallel CD$$AB$$DC$$AD$$\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{DC}$$\overrightarrow{…

ravnobedrennyj-tregugolnik

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-08T20:28:53+00:00

Равнобедренный треугольник Свойства равнобедренного треугольника * Углы при основании равнобедренного треугольника равны. * Медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают.$ABC$$BC$$AD$$ABD$$ACD$$(AB=AC, AD$$\angle 1=\angle 2)$$\angle B=\angle C$$\angle 3=\angle 4$$AD$$BD=DC$$AD$$ABC$$\angle B=\angle C$$AB=AC$$\angle B$$\angle C$$ABC$$180^\circ$$A$$BC$$180^\circ$$\angle 1=180^\circ-90^\circ-\angle B=180^\circ-90^\circ-\angle C=\angle 2$$ABD$$A…

romb

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-16T21:55:58+00:00

Ромб Определение Ромб -- это четырехугольник, у которого все стороны равны. Замечание Ромб является частным случаем параллелограмма, так как его противоположные стороны попарно равны (третий признак).$ABCD$$AC$$BD$$O$$ABCD$$AO=OC, BO=OD$$AB=BC=CD=DA$$\triangle AOB=\triangle BOC=\triangle COD=\triangle AOD$$\angle 1=\angle 2=90^\circ$$\angle 3=\angle 4=\angle 5=\angle 6$$\angle 7=\angle 8=\angle 9=\angle 10$$ABCD$$AC$$\angle A$$\angle C$$BD$$B$$D$$ABCD$$ABCD$$AC\perp BD$$ABCD$$AO=OC, BO=OD$…

sdvig-argumenta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-01T19:16:28+00:00

Сдвиг аргумента Теорема 1 Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=f(x+a)$ при $a>0$ , нужно сдвинуть изначальный график влево на $a$. Доказательство Пусть точка $A(x_0;y_0)$$y=f(x)$$y_0=f(x_0)$$A'(x_0-a; y_0)$$a$$y=f(x+a)$$f((x_0-a)+a)=f(x_0)=y_0$$A(x_0;y_0)$$A'(x_0-a; y_0)$$a$$a$$y=f(x)$$y=f(x-a)$$a>0$$a$$A(x_0;y_0)$$y=f(x)$$y_0=f(x_0)$$A'(x_0+a; y_0)$$a$$y=f(x-a)$$f((x_0+a)-a)=f(x_0)=y_0$$A(x_0;y_0)$$A'(x_0+a; y_0)$$a$$a$…

sdvig-funkcii

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-01T19:16:50+00:00

Сдвиг функции Теорема 1 Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=f(x)+a$ при $a>0$ , нужно сдвинуть изначальный график вверх на $a$. Доказательство Пусть точка $A(x_0;y_0)$$y=f(x)$$y_0=f(x_0)$$A'(x_0; y_0+a)$$a$$y=f(x)+a$$A'$$y=f(x)+a$$y_0+a=f(x_0)+a$$A(x_0;y_0)$$A'(x_0; y_0+a)$$a$$a$$y=f(x)$$y=f(x)-a$$a>0$$a$$A(x_0;y_0)$$y=f(x)$$y_0=f(x_0)$$A'(x_0; y_0-a)$$a$$y=f(x)+a$$A'$$y=f(x)-a$$y_0-a=f(x_0)-a$$A(x_0;y_0)$$A'(x_0; y_0-a)$$a$$a$…

sdvig_funktsii

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-01T19:16:44+00:00

Модуль функции и аргумента Переворот функции и аргумента Сжатие и растяжение функции Сжатие и растяжение аргумента Сдвиг аргумента Сдвиг функции

secheniya-parallelnye-pryamoj

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-06-22T10:27:03+00:00

section-present

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-11-12T16:50:20+00:00

MiKTeX * Скачайте и установите MiKTeX - инструкция. (Если вы не устанавливали его раньше). * Четыре файла для проверки работы MiKTeX и MetaPost, и папка с примерами (скачайте всё содержимое и поместите в какую-нибудь одну папку, например C:\testmetapost). * Скачайте и установите

sr-preobr-graf-var1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-17T06:02:24+00:00

* Постройте график $y=x^2-6x+5$. * Постройте график $y=-|x^2-6x+5|$. * Постройте график $y=\dfrac{(x^2-6|x|+5)}{2}$. * Постройте график $y=\dfrac{4x-1}{2x+1}$. * Постройте график $y=\dfrac{|4x-1|}{2x+1}$. * Постройте график $y=||x-2|-3|-1$. * Постройте график $y=\sqrt{2x-1}-3$$y=\sqrt{2(-x)-1}-3$$y=\sqrt{x}$$y=|x|$

sr-preobr-graf-var2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-04-24T06:59:53+00:00

* Запишите формулу для получившегося графика, если изначально был график функции $y=\sqrt{x}$, а потом последовательно один за другим с ним сделали следующие преобразования:$y=|x|$$f(x)=|x^2-2x|-4|x|$$f(x)$$f(x)=a$$a$$y=f(|x|)-1$$M(x,y)$$\left\{\begin{array}{l}x\leqslant -\sqrt{4-y},\\ y=\left|\dfrac{5x+10}{x-1}\right|.\end{array}\right.$$M(x,y)$$y\leqslant \sqrt{x}$$x\leqslant \sqrt{y}$$y=2$$x=3$$(4;5)$$M(x,y)$$x^2-4x+y^2-2y=0$$a$$\left\{\begin{array}{l}x^2-4|x|+y^2-2|y|=0,\\ y=a. \end{array}\…

srednyaya_liniya_trapecii

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-01-14T13:52:16+00:00

Определение Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Свойства средней линии трапеции $ABCD$$MN$$MN\parallel AD$$MN=\frac{AD+BC}{2}$$M$$FE$$CD$$F\in CB, E\in AD$$FCDE$$FC\parallel ED, FE\parallel CD$$FE=CD$$FC=ED$$\triangle FBM=\triangle AME$$, как накрест лежащие, $$AM=MB$$M$$FM=ME$$FMNC$$MNDE$$FM=ME=ND=NC$$MN\parallel BC$$\triangle FBM=\triangle AME$$FB=AE$$FB=AE=x$$BC=y$$FC=ED=x+y$$MN=x+y$$BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$$MN=x+y=\dfrac{BC+AD}{…

srednyaya_liniya_treugolnika

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-13T16:46:08+00:00

Определение Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Свойства средней линии треугольника $\triangle ABC$$AC$$MN$$MN\parallel AC$$MN=\dfrac{1}{2}\cdot AC$$MN$$N$$D$$MN=ND$$\triangle BMN=\triangle NDC$$BN=NC, MN=ND$$\angle BNM=\angle DNC$$\angle 1=\angle 2$$AB\parallel DC$$MB=DC$$MB=MA$$MA=DC$$AMDC$$DC=MA$$MA\parallel DC$$MD\parallel AC$$AC=MD=2\cdot MN$$ABC$$M$$AB$$N$$BC$$MN\parallel AC$$MN$$ABC$$M$$N$$AB$$BC$$MN\parallel AC$$2|MN|=|AC|$$MN…

srednyaya_liniya_treugolnika_i_trapecii_teorema_falesa

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T14:55:35+00:00

Средняя линия треугольника Теорема о параллелограмме Вариньона Теорема Фалеса Средняя линия трапеции

stepen-s-rac-pokazatelem

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-09-22T11:04:04+00:00

Номер Условие Ответ 1. (Лейбсон 9 №289а) $a+b+\dfrac{a^{1.5}-b^{1.5}}{b-a}\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ $-\sqrt{ab}$ 2. (Лейбсон 9 №289б) $\dfrac{x+y}{x-x^{\frac{2}{3}}\cdot y^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}}\cdot y^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}} $ $1$ 3. (Лейбсон 9 №290а) $\left(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}}-y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}\right)$ $x-y$…

svojstva-parallelogramma

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T14:08:27+00:00

Свойства параллелограмма * В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. * Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$ABCD$$AC$$AB\parallel CD$$BC\parallel AD$$ABC$$ADC$$AC$$AB=CD, BC=AD$$AC$$BD$$ABCD$$O$$AB\parallel CD$$\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$$AB=CD$$AO=OC$$BO=OD$$180^\circ$

svojstva_parallelogramma

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T14:44:01+00:00

svojstva_sinusa

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T20:39:03+00:00

Свойства синуса * Синус каждого угла не больше единицы. * При возрастании угла от $0^\circ$ до $90^\circ$ его синус возрастает от 0 до 1. * При возрастании угла от $90^\circ$$180^\circ$$\sin{(180^\circ-\alpha)}=\sin{\alpha}$$O$$p$$q$$O$$OA$$p$$\alpha$$A$$AK$$AL$$p$$q$$OKAL$$OA=1$$AK=\sin{\alpha}$$OL=AK$$OL=\sin{\alpha}$$\sin{\alpha}$$OL$$OA$$q$$\alpha$$0^\circ$$90^\circ$$OA$$O$$OA_0$$p$$OA_1$$q$$A$$L$$O$$A_1$$OL$$\sin{\alpha}$$0$$1$$90^\circ$$180^\circ$$90^\circ$$0^\circ$$1$$0$$\sin{\alph…

szhatie-i-rastyazhenie-argumenta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-01T19:16:04+00:00

Сжатие и растяжение аргумента Теорема 1 Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=f(ax)$ при $a>1$ , нужно сжать изначальный график в $a$ раз к оси $Oy$. Доказательство $A(x_0;y_0)$$y=f(x)$$y_0=f(x_0)$$A'\left(\dfrac{x_0}{a}; y_0\right)$$y=f(ax)$$f\left(a\cdot\dfrac{x_0}{a}\right)=f(x_0)=y_0$$A(x_0;y_0)$$A'\left(\dfrac{x_0}{a}; y_0\right)$$a$$Oy$$a$$a$$Oy$$y=f(x)$$y=f\left(\dfrac{1}{a}\cdot x\right)$$a>1$$a$$Oy$$A(x_0;y_0)$$y=f(x)$$y_0=f(x_0)$$A'\left(ax_0; y_0\right)$$a$$Oy$$y=f\left(\df…

szhatie-i-rastyazhenie-funkcii

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-01T19:15:41+00:00

Сжатие и растяжение функции Теорема 1 Чтобы из графика $y=f(x)$ построить график $y=af(x)$ при $a>1$ , нужно растянуть изначальный график в $a$ раз от оси $Ox$. Доказательство $A(x_0;y_0)$$y=f(x)$$y_0=f(x_0)$$A'\left(x_0; ay_0\right)$$y=af(x)$$af(x_0)=ay_0$$A(x_0;y_0)$$A'\left(x_0; ay_0\right)$$a$$Ox$$a$$a$$Ox$$y=f(x)$$y=\dfrac{1}{a}\cdot f\left(x\right)$$a>1$$a$$Ox$$A(x_0;y_0)$$y=f(x)$$y_0=f(x_0)$$A'\left(x_0; \dfrac{y_0}{a}\right)$$a$$Ox$$y=\dfrac{1}{a}\cdot f\left(x\right)$$\dfrac{1}{a}\cd…

tangens_i_kotangens

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-13T17:32:07+00:00

Тангенс и котангенс Определение Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу. Определение Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.$0^\circ$$90^\circ$$0$$\tg{(180^\circ-\alpha)}=-\tg{\alpha}$$ABC$$AC=1$$\angle A=\alpha$$BC=\tg{\alpha}$$\alpha$$0^\circ$$90^\circ$$BC$$\tg{\alpha}$$0$$$\tg{(180^\circ-\alpha)}=\dfrac{\sin{(180^\circ-\alpha)}}{\cos{(180^\circ-\alpha)}}=\dfrac{\sin{\alpha}}{-\cos{\alpha}}=-\tg{\alpha}.$$$\alpha$$\beta$$\tg{\alpha}=\tg{\bet…

tekstoviezadachi

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-11-29T14:19:15+00:00

001-100 101-200 201-300 301-400 401-500 501-600 601-700 701-800 801-900 901-10xx

tekstzadachi001-100

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:39:57+00:00

Номер Условие …

tekstzadachi101-200

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:41:08+00:00

Номер Условие …

tekstzadachi201-300

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:42:09+00:00

Номер Условие …

tekstzadachi301-400

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:42:59+00:00

Номер Условие …

tekstzadachi401-500

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:44:15+00:00

Номер Условие …

tekstzadachi501-600

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:45:03+00:00

Номер Условие …

tekstzadachi601-700

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:45:52+00:00

Номер Условие …

tekstzadachi701-800

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:46:51+00:00

Номер Условие …

tekstzadachi801-900

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:47:24+00:00

Номер Условие …

tekstzadachi901-10xx

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-01T12:48:00+00:00

Номер Условие …

teorema-o-ploskosti-parallelnoj-rebru-dvugrannogo-ugla-stat

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-10T19:34:34+00:00

назад Теорема о плоскости, параллельной ребру двугранного угла Включить анимацию ТеоремаУсловия для печати Разбор и задачи по отдельности1.2.3.4.[1][2][3][4]5.6.7.8.[5][6][7][8]

teorema-o-ploskosti-parallelnoj-rebru-dvugrannogo-ugla

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-10T19:34:15+00:00

назад Теорема о плоскости, параллельной ребру двугранного угла Отключить анимацию ТеоремаУсловия для печати Разбор и задачи по отдельности1.2.3.4.[1][2][3][4]5.6.7.8.[5][6][7][8]

teorema-o-summe-uglov-treugolnika-i-sledstviya-iz-nee

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-05T10:01:37+00:00

Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее Теорема Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Доказательство Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$B$$a$$AC$$\angle 1=\angle 4, \angle 3=\angle 5$$\angle1 + \angle 2+\angle 3=\angle 4+\angle 2+\angle 5=180^\circ$$\angle 3$$\angle 4$$B$$C$$ABC$$M$$\angle BMC=90^\circ+\frac{1}{2}\angle A$…

teorema-ob-otkladyvanii-vektora-ot-dannoj-tochki

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-09T15:42:34+00:00

Теорема От любой точки $M$ можно отложить вектор, равный данному вектору $\vec{a}$, и при том только один. Доказательство Рассмотрим вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$. Проведем через точку $M$$p$$AB$$M$$AB$$p$$AB$$p$$MN$$MN'$$AB$$MN$$MN'$$a$$a$

teorema_chevy

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T18:50:31+00:00

Теорема Чевы Чевианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$. Доказательство. Докажем прямую теорему. $ABC$$AA_1, BB_1$$CC_1$$O$$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$$AOB$$BOC$$BO$$A$$C$$AOB_1$$B_1OC$$B_1O$$A$$C$$\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOC}}=\dfrac{S_{AOB_1}}{S_{B_1OC}}$$AOB_1$$COB_1$$O$$\dfrac{S_{AOB_1}}{S_{B_1OC}}=\dfrac{AB_1}{B_1C}$$\dfra…

teorema_falesa

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T15:00:14+00:00

Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков, а потом через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на другой прямой равные отрезки.$l_1, l_2, l_3$$a$$b$$A_1, A_2, A_3$$B_1, B_2, B_3$$A_1A_2=A_2A_3$$B_1B_2=B_2B_3$$A_2A_1B_1B_2$$A_3A_2B_2B_3$$A_1A_2=B_1B2$$A_2A_3=B_2B_3$$A_1A_2=A_2A_3$$B_1B_2=B_2B_3$$B_1$$c$$a$$l_2,l_3,l_4$$c$$C_2, C_3, C_4$$B_1C_2=C_2C_3$$B_2C_2\parallel B_3C_3$$B_2C_2$$\triangle B_1C_3B_3$$B_1B_2=B_2B_3$$l_1, l_2,…

teorema_kosinusov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-08T18:24:29+00:00

Теорема косинусов В каждом треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.$ABC$$a,b$$c$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$\angle C=90^\circ$$\angle C<90^\circ$$\angle C>90^\circ$$\angle C=90^\circ$$\cos C=0$$ABC$$\angle C<90^\circ$$ABC$$B$$A$$AD$$B$$C$$D$$BC$$CD=b_1$$ACD$$AC=b$$C$$b_1=b\cos{C}.$$c^2$$ABD$$AD=h$$BD=a-b_1$$c^2=(a-b_1)^2+h^2$$h^2=b^2-b_1^2$$ACD$$h^2$$b_1$$c^2=a^2-2ab_1+b_1^2+b^2-b_1^2=a^…

teorema_leybnitsa

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T12:22:23+00:00

Теорема Лейбница Пусть $Z$ - центроид треугольника $ABC$. Тогда для произвольной точки $X$ плоскости имеет место равенство $$XA^2+XB^2+XC^2 =3 XZ^2 + AZ^2 + BZ^2 + CZ ^2.$$ Доказательство Обозначим вектора маленькими буквами: $\vec{a}=\overrightarrow{Z A}, \vec{b}=\overrightarrow{Z B}, \vec{c}=\overrightarrow{Z C}, \vec{x}=\overrightarrow{Z X}$$\overrightarrow{X A}=\vec{a}-\vec{x}, \overrightarrow{X B}=\vec{b}-\vec{x}, \overrightarrow{X C}=\vec{c}-\vec{x}$$X A^{2}+X B^{2}+X C^{2}=\overrightar…

teorema_menelaya

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-11-24T21:08:33+00:00

Определение Определим отношение направленных отрезков следующим образом: * $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{|AB|}{|CD|}$, если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ сонаправленные. * $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=-\dfrac{|AB|}{|CD|}$, если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ противонаправленные.$\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=-\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{DC}}$$\dfrac{\overrighta…

teorema_o_parallelogramme_varinyona

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T14:57:36+00:00

Теорема о параллелограмме Вариньона Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Доказательство $ABCD$$M,N,P$$Q$$AB, BC, CD$$AD$$MNPQ$$MN$$ABC$$QP$$ADC$$MN\parallel AC\parallel QP$$MN=\frac{1}{2}\cdot AC=QP$$MNPQ$$ABCD$

teorema_o_summe_kvadratov_diagonalej_parallelogramma

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-16T21:58:42+00:00

Теорема Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Доказательство Рассмотрим параллелограмм $ABCD$$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$$ABC$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$$BAD$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos{A}$$ABCD$$\angle A=180^\circ-\angle B, BC=AD$$\cos{A}=-\cos{B}$$BD^2=AB^2+BC^2+2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$$AC^2$$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$…

teorema_pifagora

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-13T21:30:58+00:00

Теорема Пифагора Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$$C$$AB=c, AC=b, BC=a$$a^2+b^2=c^2$$ABC$$CDFH$$(a+b)$$\triangle ABC$$\triangle BDE$$ и $$EGAB$$\angle 1=\angle 3$$\angle 1+\angle 2=90^\circ$$\angle 2+\angle 3=90^\circ$$\angle ABE=90^\circ$$BEGA$$CDFH$$c$$S_{CDFH}=(a+b)^2$$S_{CDFH}=4S_{ABC}+c^2$$(a+b)^2=4\cdot\dfrac{ab}{2}+c^2$$a^2+b^2=c^2$$\triangle ABC$$AB^2=AC^2+BC^2$$\angl…

teorema_ptolemeya

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-10-04T11:13:56+00:00

Теорема Птолемея Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.$ABCD$$\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$$\cos{\angle ABC}+\cos{\angle ADC}=0$$ABC$$ADC$$\cos{\angle ABC}=\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}, \cos{\angle ADC}=\dfrac{d^2+c^2-e^2}{2dc}$$\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}+\dfrac{d^2+c^2-e^2}{2dc}=0.$$2abcd$$a^2dc+b^2dc-e^2dc+d^2ab+c^2ab-e^2ab=0$$e^2$$e^2=\dfrac{ab(d^2+c^2)+dc(a^2+b^2)}{ab+dc}=\dfra…

teorema_sinusov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T20:42:24+00:00

Теорема синусов Синусы углов треугольника пропорциональны противолежащим сторонам. Доказательство Пусть $CD$ -- это высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$$ACD$$BCD$$CD=b\sin{A}=a\sin{B}$$\dfrac{a}{\sin{A}}=\dfrac{b}{\sin{B}}$$\dfrac{a}{\sin{A}}=\dfrac{c}{\sin{C}}$$\dfrac{a}{\sin{A}}=\dfrac{b}{\sin{B}}=\dfrac{c}{\sin{C}}$

teorema_styarta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-06T08:23:51+00:00

Теорема Стюарта $AD^{2}=AB^{2}\cdot\dfrac{DC}{BC}+A C^{2}\cdot \dfrac{BD}{BC}-BD \cdot DC$ Доказательство По теореме косинусов для треугольников $ADB$ и $ADC$ имеем: $A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}-2 AD \cdot BD\cdot \cos \angle A D B$ $A C^{2}=A D^{2}+D C^{2}-2 AD\cdot DC\cdot \cos \angle A D C=A D^{2}+D C^{2}+2 A D \cdot D C\cdot \cos \angle A D B$ Первое уравнение домножим на $DC$, а второе на $BD$: $AB^{2}\cdot DC=BD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot DC - 2 AD \cdot BD \cdot DC\cdot \cos \angle A…

teorema_vieta

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-10-13T11:05:57+00:00

* Два целых корня * Один корень 1 или -1 * Вперемешку

teoremy-o-modulyah-vektorov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-10-06T13:37:54+00:00

Свойство 1. $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}\upuparrows\vec{b}$. Доказательство. Пусть $\vec{a}\upuparrows\vec{b}$. Тогда равенство $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ очевидно следует из правила сложения отрезков. Пусть $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$$\vec{a}\not\parallel\vec{b}$$\vec{a}, \vec{b}, \vec{a+b}$$|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|$$\vec{a}\parallel\vec{b}$$\vec{a}\updownarrows\vec{b}$$|\vec{a}+\vec{b}|=||\vec{a}|-|\vec{b…

teoremy-o-srednej-linii-treugolnika-i-trapecii-zamechatelnoe-svojstvo-trapecii

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-07T14:56:59+00:00

Теорема о средней линии трапеции Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство: Пусть $MN$$ABCD$$MN\parallel AD$$\frac{AD+BC}{2}=MN$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CN}+\overrigh…

trapeciya

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-13T20:56:26+00:00

Трапеция Определение Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Замечание $180^\circ$$180^\circ$$90^\circ$$ABCD$$AB=CD$$\angle A=\angle D$$B$$C$$BE$$CF$$\triangle ABE$$\triangle CFD$$\angle A=\angle D$$ABCD$$\triangle ABD$$\triangle ACD$$AB=CD$$AD$$\angle A=\angle D$$AC=BD$$ABCD$$O$$\triangle AOD$$\triangle BOC$$\triangle AOB$$\triangle COD$$\triangle ABD=\triangle ACD$$\angle 1=\angle 2$$\angle 3$$\angle 4$$\angle 3=\angle 4$$\tr…

tretij-priznak-podobiya-treugolnikov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-08T13:02:48+00:00

Третий признак подобия треугольников Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.$ABC$$A_1B_1C_1$$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{CA}{C_1A_1}$$\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C_1$$. Рассмотрим треугольник $$, у которого $$ABC_2$$A_1B_1C_1$$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC_2}{B_1C_1}=\dfrac{C_2A}{C_1A_1}$$BC=BC_2, CA=C_2A$$ABC$$ABC_2$$\angle A=\angle 1$$\angle 1=\angle A_1$$\angle A=\angle A_1$$ABC$$A_1B_1C_1$$a, b, c$$a_1,…

tretij_priznak_podobiya_treugolnikov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-08T15:20:34+00:00

trigformulytest

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-04-06T07:40:52+00:00

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$ $\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}$ * $\dfrac{1}{\cos^2{x}}$ * $\dfrac{1}{\sin^2{x}}$ * $\sin{2x}$ * Три формулы $\cos{2x}$ * $\sin{3x}$ * $\cos{3x}$ * $\tg{2x}$ * $\sin{(x+y)}$ * $\sin{(x-y)}$ * $\cos{(x+y)}$ * $\cos{(x-y)}$ * $\tg{(x+y)}$ * $\tg{(x-y)}$ * $\sin^2{x}$ * $\cos^2{x}$ * Универсальная подстановка $\sin{x}$ * Универсальная подстановка $\cos{x}$ * $\cos{x}+\cos{y}$ * $\cos{x}-\cos{y}$ * $\sin{x}+\sin{y}$ * $\sin…

trigformulytest2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-04-06T07:59:19+00:00

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$ $\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}$ * $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$ * Три формулы $\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=2\cos^2{x}-1=1-2\sin^2{x}$ * $\sin{3x}=3\sin{x}-4\sin^3{x}$ * $\cos{3x}=4\cos^3{x}-3\cos{x}$ * $\tg{2x}=\dfrac{2\tg{x}}{1-\tg^2{x}}$ * $\sin{(x+y)}=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}$ * $\sin{(x-y)}=\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y}$ * $\cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}$ * $\cos{(x-y)}=\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}$ * $\tg{(x+y)}=\dfrac{…

trigformulytest3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-04-06T07:49:55+00:00

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$ $\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}$ * $\tg^2{x}+1$ * $\ctg^2{x}+1$ * $2\sin{x}\cos{x}$ * Три формулы $\cos^2{x}-\sin^2{x}$ * $3\sin{x}-4\sin^3{x}$ * $4\cos^3{x}-3\cos{x}$ * $\dfrac{2\tg{x}}{1-\tg^2{x}}$ * $\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}$ * $\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y}$ * $\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}$ * $\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}$ * $\dfrac{\tg{x}+\tg{y}}{1-\tg{x}\tg{y}}$ * $\dfrac{\tg{x}-\tg{y}}{1+\tg{x}\tg{y}}$ * $\dfrac{1-\cos{2…

trigformulytest4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-04-04T21:01:11+00:00

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$ $\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}$ * $\sin{(\pi-x)}$ * $\sin{(\pi+x)}$ * $\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}$ * $\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}$ * $\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}$ * $\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}$ * $\sin{(-x)}$ * $\cos{(\pi-x)}$ * $\cos{(\pi+x)}$ * $\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}$ * $\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}$ * $\cos{\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}$ * $\cos{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right…

trigformulytest5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-04-04T21:06:35+00:00

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$ $\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}$ * $\sin{(x-\pi)}$ * $\sin{(3\pi+x)}$ * $\sin{\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}$ * $\sin{\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)}$ * $\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}$ * $\sin{\left(-\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}$ * $\sin{(-x-\pi)}$ * $\cos{(x-\pi)}$ * $\cos{(5\pi+x)}$ * $\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}$ * $\cos{\left(\dfrac{7\pi}{2}+x\right)}$ * $\cos{\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)}$ * $\cos{\left(-\dfrac{7\pi}{…

trigformulytest6

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-04-04T22:22:25+00:00

trigformulytest8

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-04-04T22:13:29+00:00

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$ $\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}$ * $\sin{x}+\cos{x}=3(\tg{x}+\ctg{x})$ * $\sin{x}\sin{3x}=\dfrac{1}{2}$ * $3\sin^2{x}-5\sin{x}\cos{x}+8\cos^2{x}=2$ * $3\sin{4x}+5\cos{4x}=4$ * $\dfrac{1-\cos{2x}+\tg{x}}{1-\tg{x}}=1+\sin{2x}$ * $\dfrac{1}{\sin^2{x}}=\ctg{x}+3$ * $\sin^2{x}+\sin^2{2x}+\sin^2{3x}=2$ * $5\cos{x}+\sin{x}=0$ * $\cos{t}+\cos{2t}+\cos{3t}=0$ * $\sin{7x}\cos{4x}=1$ * $\cos^3{x}\sin{x}+\cos^2{x}\sin^2{x}-3\cos{x}\sin^2{x}-3\sin^4{x}=…

trigformulytest9

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-04-04T22:26:50+00:00

trigonometricheskie_formuly

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T20:45:51+00:00

Основные формулы тригонометрии Если $\alpha$ -- острый угол прямоугольного треугольника, то * $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ * $\tan^2{\alpha}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}$ * * $\sin{(90^\circ-\alpha)}=\cos{\alpha}$ * $\cos{(90^\circ-\alpha)}=\sin{\alpha}$ * $\tan{(90^\circ-\alpha)}=\cot{\alpha}$ Доказательство Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{c^2}=1$$\alpha$$\sin{…

trigonometricheskie_funkcii_v_pryamougolnom_treugolnike

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-07T20:44:38+00:00

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике Определение * Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношения противолежащего катета к гипотенузе.

trig_uriya_test7

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-04-04T22:16:15+00:00

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$ $\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}$ * $3\sin{x}-\cos{x}=0$ * $\sin{2x}+2\sin{x}=2-2\cos{x}$ * $3\sin{2x}+\cos{2x}-4\cos^2{x}=1$ * $\tg{x}+\dfrac{1}{\cos^2{x}}=3$ * $\sin{\dfrac{5x}{3}}+\cos{4x}=2$ * $2\sin{2x}-\cos{2x}=\dfrac{\tg{x}+3}{\tg{x}+1}$ * $\cos{2x}=\cos^2{\dfrac{3x}{2}}$ * $\cos{x}\cos{3x}=-\dfrac{1}{2}$ * $3\sin^3{x}+4\sin^2{x}\cos{x}-\sin{x}\cos^2{x}=2\sin{x}+3\cos{x}$ * $3\cos{x}+4\sin{x}=6$ * $\sin{2x}+\cos{2x}+\sin{6x}=0$ -----…

t_vieta_raznoe

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-07-04T18:20:19+00:00

1. $-9x^2-13x-4=0$ $-1; -\dfrac{4}{9}$ 2. $x^2+9x-22=0$ $2; -11$ 3. $x^2-3x-28=0$ $7; -4$ 4. $-11x^2-x+12=0$ $1; -\dfrac{12}{11}$ 5. $-3x^2-19x-16=0$ $-1; -\dfrac{16}{3}$ 6. $x^2-x-90=0$ $10; -9$ 7. $x^2+19x+90=0$ $-10; -9$ 8. $-5x^2+3x+2=0$ $1; -\dfrac{2}{5}$ 9. $-20x^2+7x+13=0$ $1; -\dfrac{13}{20}$ 10. $9x^2-10x+1=0$ $1; \dfrac{1}…

ugly_v_okruzhnosti

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-24T10:37:27+00:00

Углы в окружности Определение Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Определение Градусной мерой дуги окружности называется величина центрального угла, который соответствует этой дуге.$\a ABC$$O$$AC$$\angle ABC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$$BO$$ABC$$BO$$ABC$$BC$$AC$$\a AOC=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$$AOC$$ABO$$\angle 1=\angle 2$$\angle AOC=\angle 1+\angle 2=2\angle 1$$2\angle 1=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$$\angle ABC=\angle 1=\frac{1}{2}\buildrel\,…

uproschenija_scanavi

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-10-01T22:14:00+00:00

Часть 1 Часть 2

uproscheniya_s_bukvami

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-01-17T20:30:23+00:00

Номер --------- Условие --------- --------- Ответ --------- 1. $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\cdot\dfrac{a-b}{a^2+ab}$ $\dfrac{1}{a}$ 2. $\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+4\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{\dfrac{a}{4}}-\dfrac{1}{\sqrt{4a}}\right)$ $2a$ 3. $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{a-…

uproscheniya_s_chislami

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-10-26T10:22:25+00:00

Номер --------------------------- Условие --------------------------- --------------------- Ответ --------------------- 1. $\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{7}}+\dfrac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\right)-5\sqrt{14}$$-20\sqrt{2}$$2(3-\sqrt{5})(\sqrt{3}-5)+\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}+(\sqrt{15}+1)^2-\sqrt{405}$$5 \sqrt{3}-14$$\left(\dfrac{\sqr…

up_s_b_bez_otvetov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-01-17T09:22:47+00:00

Номер --------- Условие --------- $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\cdot\dfrac{a-b}{a^2+ab}$$\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{\sqrt{a}…

uravnenie-po-dvum-tochkam

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-09T11:00:34+00:00

Уравнение по двум точкам $\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}$, при условии, что $y_2\neq y_1$ и $x_2\neq x_1$. Доказательство Если точка $A$ имеет координаты $(x_1;y_1)$, а точка $B$ имеет координаты $(x_2;y_2)$, то в качестве направляющего вектора прямой $AB$$\overrightarrow{AB}$$(x_2-x_1;y_2-y_1)$$, получим $

uravnenie-po-napravlyayushchemu-vektoru-i-tochke

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-09T11:29:59+00:00

Уравнение по направляющему вектору и точке $\dfrac{x-x_0}{p}=\dfrac{y-y_0}{q}$, при условии, что $p\neq0, q\neq 0$; Доказательство Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_0;y_0)$, вектор $\vec{v}$ имеет координаты $(p;q)$$X$$(x;y)$$\overrightarrow{AX}$$\vec{v}$$\overrightarrow{AX}=k\cdot \vec{v}$$(x-x_0;y-y_0)=(kp;kq)$$x-x_0=kp$$y-y_0=kq$$k$$k=\frac{x-x_0}{p}=\frac{y-y_0}{q}$$\frac{x-x_0}{p}=\frac{y-y_0}{q}$…

uravnenie-po-normali-i-tochke

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-09T11:01:00+00:00

Уравнение по нормали и точке $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$. Доказательство Пусть вектор $n$ с координатами $(a;b)$ является нормалью к прямой $l$, проходящей через точку $A(x_0;y_0)$. Тогда для любой точки $X$$\overrightarrow{AX}$$\vec{n}$$\overrightarrow{AX}\cdot \vec{n}=0$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

uravnenie-pryamoj-s-uglovym-koehfficientom

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2017-02-08T18:33:45+00:00

$\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$ $\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}$ $\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}$ $\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}$ $\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}$ $\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}$ $\newcommand{\deg}{^\circ}$ $\newcommand{\a}{\angle}$ Уравнение прямой с угловым коэффициентом $y=kx+b$ Доказательство Пусть прямая задана общим уравнением $Ax+By+C=0$, причём $A\neq0$ (коэффициенты $…

uravneniya-pryamoj

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-09T11:13:21+00:00

Различные виды уравнения прямой Уравнение прямой $AB$ можно записать в следующих формах * Векторное уравнение прямой * Уравнение по направляющему вектору и точке * Уравнение по двум точкам * Уравнение по нормали и точке * Общее уравнение прямой * Уравнение прямой с угловым коэффициентом * Уравнение прямой в отрезках…

vectmetodkratko

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-27T17:46:38+00:00

Нормаль к плоскости Смешанное произведение векторов $\vec{n}_\alpha=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end…

vectmetodprint

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-27T18:47:42+00:00

Расстояние между двумя точками Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до плоскости $|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$$A(x_1;y_1;z_1)$$B(x_2;y_2;z_2)$$\rho(A;l)=\dfrac{|\vec{a}\times\vec{c}|}{|\vec{a}|}$$\rho…

vectorniy_metod_v_prostranstve

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-05-06T18:11:54+00:00

Определители Два на два $\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right|=a\cdot d-b\cdot c$ Три на три $\left|\begin{array}{ccс} x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{array}\right|=x_1\cdot\left|\begin{array}{cc}y_2&y_3\\z_2&z_3\end{array}\right|-x_2\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_3\\z_1&z_3\end{array}\right|+x_3\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_2\\z_1&z_2\end{array}\right|$ Три на три с векторами $\left|\begin{array}{ccс}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{arr…

vectorniy_metod_v_prostranstve_formuly

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-05-25T07:42:57+00:00

* $cos{\hat{(l,m)}}=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right|$ -- угол между прямыми * $\sin{\hat{(l,\alpha)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{l})}}|$ -- угол между прямой и плоскостью * $\cos{\hat{(\alpha,\beta)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{n}_\beta)}}|$ -- угол между плоскостями * $\rho(A,\alpha)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n_\alpha}}{|\vec{n_\alpha}|}\right|$ -- расстояние от точки до плоскости * $\rho(l,m)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|…

vectorniy_metod_v_prostranstve_thm

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-04-02T15:52:29+00:00

* $cos{\hat{(l,m)}}=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right|$ -- угол между прямыми * $\sin{\hat{(l,\alpha)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{v})}}|$ -- угол между прямой и плоскостью * $\cos{\hat{(\alpha,\beta)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{n}_\beta)}}|$ -- угол между плоскостями * $\rho(A,\alpha)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ -- расстояние от точки до плоскости * $\rho(l,m)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ -- расстояни…

vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2018-05-18T12:58:14+00:00

Определение равных векторов Два вектора равны тогда и только тогда, когда они сонаправлены и их длины равны. Таким образом равенство векторов не зависит от выбора системы координат в пространстве. Более того, в разных системах координат равные векторы могут иметь различающиеся координаты, но при этом сами векторы будут равны.$I$$(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$$\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)$$\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)$$\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{array}\right|$$(…

vektornoe-uravnenie-pryamoj

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-09T10:58:28+00:00

Векторное уравнение прямой $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}$, где $X$ -- переменная точка прямой $AB$. рис. 1a рис. 1b рис. 1c Доказательство Пусть $X$ -- произвольная точка прямой $AB$.$\overrightarrow{AX}$$\overrightarrow{AB}$$t$$\overrightarrow{AX}=t\cdot \overrightarrow{AB}$$O$$X$$AB$$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}$$t$$X$$\overrightarrow{OX}=(1-t)\cdot \overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{OB}$$X$$AB$$X$$A$$…

vektory-koordinaty-vektorov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-10-13T12:52:43+00:00

Координаты векторов Определение Линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$. Числа $\alpha$ и $\beta$ называются коэффициентами линейной комбинации.$\vec{a}$$\vec{b}$$x\vec{a}+y\vec{b}=\vec{0}$$x=y=0$$x\neq0$$\vec{a}=-\frac{y}{x}\vec{b}$$\vec{a} \parallel \vec{b}$$x=0$$y=0$$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{p}$$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{p}$$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{b}$$p$$\vec{p}=y\vec{b}$$y$$\vec{p}=0\cdot \vec{a}+y\cdot \vec{b}$$\vec{p}$$\vec{a}$$\ve…

vektory-napravlennye-otrezki

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-09-22T20:15:50+00:00

Направленные отрезки Определение Направленный отрезок -- это отрезок, одна граничная точка которого считается «началом», а другая -- «концом$[\overrightarrow{AB}]$$AB$$[\overrightarrow{AB}]$$[\overrightarrow{CD}]$$a$$AB$$CD$$[\overrightarrow{AB}]$$[\overrightarrow{CD}]$$[\overrightarrow{MN}]$$[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{CD}]$$[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{MN}]$$a$$AB$$MN$$[\overrightarrow{CD}]$$[\overrightarrow{MN}]$$b$$CD$$MN$$a$$b$$MN$$a$$b$$MN$$a$$A…

vektory-skalyarnoe-umnozhenie

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-10-27T09:13:27+00:00

$\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$ Скалярное умножение векторов Определение Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки.$\alpha=\angle (\vec{a};\vec{b})$$\alpha=90^\circ$$\cos{\alpha}=0$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\alpha}=0$$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\alpha}=0$$|\vec{a}|\neq0$$|\vec{b}|\neq 0$$\cos{\alpha}=0$$\alpha=90^\circ$$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{a}$$\vec{b}$$O$$\over…

vektory-slozhenie-vychitanie

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-10-26T10:28:39+00:00

$\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$ Линейные операции с векторами Правило треугольника Чтобы получить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от какой-либо точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, затем от точки $B$$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$$\overrightarrow{AC}$$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$A$$a$$A_1$$\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{a}$$B_1$$\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$$\overrightarrow{A_1…

vektory-svojstva-linejnyh-operacij

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-06-12T16:59:09+00:00

$\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$ $\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}$ $\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}$ $\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}$ $\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}$ $\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}$ $\newcommand{\deg}{^\circ}$ $\newcommand{\a}{\angle}$ Теорема Для любых чисел $k, l$ и любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ справедливы равенства: * $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$; * $k(\vec{a}+\vec{b})=k\…

vektory-umnozhenie-na-chislo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-09-20T06:01:25+00:00

Определение произведения вектора на число Произведением вектора $\vec{a}\neq\vec{0}$ на число $x\neq0$ называется такой вектор $x\vec{a}$, для которого выполняются два условия:$|x\cdot\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{a}|$$\vec{a}$$x>0$$\vec{a}$$x<0$$\vec{a}=\vec{0}$$x=0$$x\vec{a}=\vec{0}$$1\cdot \vec{a}=\vec{a}$$\vec{a}$$(-1)\vec{a}=-\vec{a}$$\vec{a}$$x\vec{a}=x\vec{b}$$x\neq0$$\vec{a}=\vec{b}$$x\vec{a}=y\vec{a}$$\vec{a}\neq\vec{0}$$x=y$$1\cdot \vec{a}$$1\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$$\vec{a}$$1>0$$(-1)\cdot …

vidy-dvizhenij-centralanya-simmetriya

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-05T08:41:58+00:00

Центральная симметрия Определение Центральная симметрия относительно точки $O$ -- это такое преобразование плоскости, которое любой точке $X$$X'$$\overrightarrow{OX}=-\overrightarrow{OX'}$$O$$l_1$$l_2$$O$$Z_{O}=S_{l_2}\circ S_{l_1}$$X$$X'=X''$$X'=Z_{O}(X), X''=S_{l_2}(S_{l_1}(X))$$Y=S_{l_1}(X)$$S_{l_2}(Y)=X''$$\triangle X'YX$$OX=OY=OX''$$\overrightarrow{OX}=-\overrightarrow{OX''}$$X''=X'$$X(x_1;y_1)$$O(x_0;y_0)$$X'(2x_0-x_1;2y_0-y_1)$$X'=O-\overrightarrow{OX}=(x_0;y_0)-((x_1;y_1)-(x_0;y_0))=(2…

vidy-dvizhenij-osevaya-simmetriya

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-09T09:24:43+00:00

Осевая симметрия Определение Осевой симметрией относительно прямой $l$ называется такое преобразование плоскости, при котором точки прямой $l$$A$$l$$AA'\perp l$$\rho(A; l)=\rho(A';l)$$A'$$A$$X(x_0;y_0)$$l_1: y=a$$X'(x_0;2a-y_0)$$X(x_0;y_0)$$l_2: x=b$$X'(2b-x_0;y_0)$$X(x_0;y_0)$$l_3: x=y$$X'(y_0;x_0)$$X(x_0;y_0)$$l_4: ax+by+c=0$$X'\left(\dfrac{(b^2-a^2)x_0-2aby_0-2ac}{a^2+b^2};\dfrac{(a^2-b^2)y_0-2abx_0-2bc}{a^2+b^2}\right)$$X'=S_{l_1}(X)$$X'(x';y')$$y'=y$$X$$l_1$$x_0>b$$x'=b-AX=b-(x_0-b)=2b-x_…

vidy-dvizhenij-parallelnyj-perenos

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-05T08:40:18+00:00

Параллельный перенос Определение Параллельным переносом фигуры называется такое ее преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, то есть на заданный вектор.$\vec{a}$$T_{\vec{a}}$$A$$B$$AB$$A'B'$$A'=T_{\vec{a}}(A), B'=T_{\vec{a}}(B)$$AA'B'B$$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\vec{a}$$AA'=BB'$$AA'\parallel BB'$$AB=A'B'$$X'=T_{\vec{a}}(X), Y'=T_{\vec{a}}(Y)$$\overrightarrow{XX'}=\overrightarrow{YY'}=\vec{a}$$XX'Y'Y$$\ove…

vidy-dvizhenij-povorot

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-09T09:28:01+00:00

Поворот Определение Поворотом фигуры вокруг точки $O$ на угол $\varphi$ называется такое преобразование, которое каждую точку $X$ переводит в точку $X'$, при этом $OX=OX'$$XOX'$$OX$$\varphi$$R_{O,\varphi}$$R_{O,\varphi}=S_{l_2}\circ S_{l_1}$$l_1$$l_2$$O$$\frac{\varphi}{2}$$X$$X'=X''$$X'=R_{O,\varphi}(X)$$X''=S_{l_2}(S_{l_1}(X))$$X=O$$X=X''$$O$$X$$O$$l_1$$l_2$$X$$l_1$$S_{l_1}(X)=X$$Y=S_{l_1}(X)$$\angle (X;l_1)=\angle (Y;l_2)$$\alpha$$\beta=\angle (X;l_2)$$\alpha <\beta$$\alpha < \frac{\varphi}{…

vnevpisannye_okruzhnosti

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-02-06T14:31:42+00:00

Вневписанные окружности Определение Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью этого треугольника.$ABC$$B$$C$$O_a$$O_a$$AB, BC$$AC$$O_a$$A$$O_a$$BC$$r_a$$O_a$$r_a$$BC$$AB$$AC$$O_b$$O_c$$AC$$BA$$ABC$$AA_1$$D$$D$$BOCO_a$$O$$ABC$$O_a$$O$$ABC$$B$$O_a$$B$$\angle OBO_a=90^\circ$$\angle OCO_a=90^\circ$$BOCO_a$$AA_1$$BB_1$$ABC$$D$$E$$AD$$BE$$\buildrel\,\,\frown\over{BD}=\buildrel\,\,\frown\over{DC}, \buildrel\,\,\frown\over{AE}…

vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti_pryamougolnogo_treugolnika

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-08T15:56:33+00:00

Теорема * Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле $r=\dfrac{a+b-c}{2}$. * Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, а её центр совпадает с серединой гипотенузы.$ABC$$C$$O$$r$$AC$$BC$$M$$N$$MONC$$MO=ON=r$$CM=r$$CM=p-c=\dfrac{a+b+c}{2}-c$$r=\dfrac{a+b-c}{2}$$ABC$$C$$O$$AB$$OA=OB=OC$$O$$O$$ABC$$OA$…

vsevmeste

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-14T15:46:32+00:00

\section{Правильные многоугольники} \begin{dfn}\label{def30} Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.\end{dfn} \begin{thm}[о центре правильного многоугольника]\label{122} В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от всех его сторон и от всех его вершин.\end{thm} \begin{proof}\ \par Рассмотрим правильный многоугольник. Обозначим $\alpha=\a A$$A$$B$$O$$O$$OA$$OB$$\a 1=\a 2=\a 3=\a 4=\frac{1}{2}\alpha$$AOB$$OA=OB$$ по первому признаку…

vsevmeste2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-14T15:50:43+00:00

\section{Векторы} \subsection{Определение вектора} \begin{dfn}\label{def31} Величина, которая характеризуется своим численным значением, направлением и складывается по правилу треугольника, называется векторной величиной.\end{dfn} \begin{dfn}\label{def32} Направленный отрезок $\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{CD}$$a$$AB$$CD$$A$$\overrightarrow{AA}$$\vec{0}$$\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{CD}$$\overrightarrow{MN}$$\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}$$\overrightarrow{AB}\u…

vsevmeste3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-14T15:56:57+00:00

\subsection{Линейные операции с векторами} Правило треугольника Чтобы получить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от какой-либо точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$$B$$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$$\overrightarrow{AC}$$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$A$$a$$A_1$$\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{a}$$B_1$$\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$$\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}$$\o…

vsevmeste4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-14T15:59:05+00:00

vsevmeste5

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-14T17:36:01+00:00

sdfg $\buildrel\frown$

vtoroj-priznak-podobiya-treugolnikov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-08T13:01:06+00:00

Второй признак подобия треугольников Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.$ABC$$A_1B_1C_1$$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$$\angle A=\angle A_1$$\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$$\angle B=\angle B_1$$ABC_2$$\angle 1=\angle A_1$$ABC_2$$A_1B_1C_1$$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC_2}{A_1C_1}$$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$$AC=AC_2$$ABC$$ABC_2$$AB$$AC=AC_2…

vtoroj_priznak_podobiya_treugolnikov

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-04-08T15:19:53+00:00

zadachi_po_geometrii_breslav_l_a

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-05-10T21:16:02+00:00

Задачники Планиметрия * Лейбсон 8 * Лейбсон К.Л. 9 класс. * Гордин 7-9 * Аверьянов 8 * Аверьянов 9 * Зив 7-11 * Алексадров 8 * Александров 9 * Гордин С4 * Атанасян 7-9

zadachi_pro_opr_funkc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2016-10-26T12:40:33+00:00

Определение 1. Функция $f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует число $B\in \mathbb{R}$ такое, что для всех $x\in D_f$ выполняется неравенство $f(x)\leqslant B$, т.е. $$\exists B\in \mathbb{R}: \forall x\in D_f\ \ f(x)\leqslant B .$$ * $\exists B\in \mathbb{R}: \forall x\in D_f\ \ f(x)\leqslant B .$ * $\forall x\in D_f\ \ \exists B\in \mathbb{R}: \ \ f(x)\leqslant B .$ * $\exists B\in \mathbb{R}: \exists x\in D_f\ \ f(x)\leqslant B .$$\exists B\in \mathbb{R}: f(x)\leqslant B …

zamechatelniye_tochki_kak_ts_mass

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T12:15:57+00:00

* Ортоцентр * Чтобы центр масс непрямоугольного треугольника попал в ортоцентр, его вершины $A, B$ и $C$ нужно загрузить массами $m_a = \dfrac{a}{\cos{\alpha}},$ $m_b = \dfrac{b}{\cos{\beta}}$ и $m_c = \dfrac{c}{\cos{\gamma}}$. * Если допустить бесконечную массу в вершине прямого угла, то формулы будут верны и для прямоугольного треугольника.$A, B$$C$$m_a = a\cos{\alpha},$$m_b = b\cos{\beta}$$m_c = c\cos{\gamma}$$A, B$$C$$m_a = a,$$m_b = b$$m_c = c$$\omega_a$$A, B$$C$$m_a = -a,$$m_b = b$$…

zamechatelniye_tochki_rasstojaniya

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T12:23:16+00:00

* Замечательные точки треугольника как центры тяжести. * Теорема Лейбница. * Прямая Эйлера. * Расстояния ZO, ZH, OH. * Расстояния ZO, ZH, OH (второй способ). * Расстояния ZI, ZIa. * Расстояния HI, HIa. * Расстояния OI, OIa. * Расстояния IIa, IaIb.

zamechatelnoe_svojstvo_trapecii

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2020-11-24T13:47:08+00:00

Замечательное свойство трапеции В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.$ABCD$$AB$$CD$$P$$M$$BC$$N$$PM$$AD$$N$$AD$$BC\parallel AD$$\triangle BPM\sim \triangle PAN$$\triangle PCM\sim\triangle PND$$k=\dfrac{PN}{PM}$$AN=k\cdot BM=k\cdot MC=ND$$N$$AD$$O$$AC$$BD$$O$$MN$$BOC$$AOD$$\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{BM}{AN}=\dfrac{PM}{PN}=k$$\dfrac{BO}{OD}=k$$\dfrac{BM}{ND}=k$$\angle 1=\angle 2$$\triangle BMO\sim\triangl…

zamech_t_kak_ts_mass

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2019-05-27T11:20:48+00:00

Теорема (Ортоцентр, как центр тяжести) * Чтобы центр масс непрямоугольного треугольника попал в ортоцентр, его вершины $A, B$ и $C$ нужно загрузить массами $m_a = \dfrac{a}{\cos{\alpha}},$$m_b = \dfrac{b}{\cos{\beta}}$$m_c = \dfrac{c}{\cos{\gamma}}$$A, B$$C$$m_a = a\cos{\alpha},$$m_b = b\cos{\beta}$$m_c = c\cos{\gamma}$$A, B$$C$$m_a = a,$$m_b = b$$m_c = c$$\omega_a$$A, B$$C$$m_a = -a,$$m_b = b$$m_c = c$$A, B$$C$$m_a = 1,$$m_b = 1$$m_c = 1$…

Президентский ФМЛ №239 - math-public

adm_kvadr_bez_otvetov

aksiomatika_aleksandrova

aksiomatika_gilberta

aksiomy

angle_in_tetr

breslavla

centroid

chast1_upr_scanavi

chast2_upr_scanavi

chet-nechet-funk-teoriya

chet-nechet-funk-tipy-zadach

chet-nechet-funk

chetyre_zamechatelnye_tochki_v_treugolnike

distance_in_tetr

dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga

dop_formuli_treugolnika

dva_tselyh_kornya

edinitsa_koren

egetests

externalview

formula-rasstoyaniya-ot-tochki-do-pryamoj

formula_brahmagupty

formula_chetn_koeff

formula_dlya_bissektrisy_treugolnika

formula_dlya_mediany_treugolnika

formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa

formuly_dlya_radiusov_vpisannoj_i_opisannoj_okruzhnosti

funkcii-tema

grafiki_stand_funkc

harakteristicheskoe-svojstvo-kollinearnyh-vektorov

incentr

index

instructionmiktex

krivye-vtorogo-poryadka-ehllips

krivye-vtorogo-poryadka-giperbola

krivye-vtorogo-poryadka-okruzhnost

krivye-vtorogo-poryadka-parabola

kvadrat

kvadratniye_uravneniya_praktikum

kv_ur_diskr_vichisl

kv_ur_null_d

kv_ur_plolzh_d

kv_ur_tren

kv_ur_vperemezhku

la-vektornyi-metod1

la-vektornyi-metod2

labreslav_kurs_geometrii

lachernovic

leybson9

leybson9_z3b

matod_sledov_anim

matod_sledov_stat

metod-parallelnyh-ploskostej-stat

metod-parallelnyh-ploskostej

metod-sledov-anim

metod-sledov-stat

metodraspolozheniyaparabol_breslav_l_a

metody_postroyeniya_secheniy

metod_intervalov_chetnaya-tochka

metod_intervalov_izolirovannaya-tochka

metod_intervalov_la

metod_intervalov_mnozhitel-postoyannogo-znaka

metod_intervalov_na_poskosti

metod_intervalov_nelzya-domnozhat-i-sokrashchat

metod_intervalov_ocenivat-korni

metod_intervalov_odz-pri-sokrashchenii

metod_intervalov_pravij_znak_minus

metod_par_plosk_z_1

metod_par_plosk_z_2

metod_par_plosk_z_3

metod_par_plosk_z_4

metod_par_plosk_z_5

metod_par_plosk_z_6

metod_par_plosk_z_7

metod_par_plosk_z_8

mnogougolniki

modul-funkcii-i-argumenta

mon_kompozicii

neobhodimo_i_dostatchno