Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
===== Основные (неопределяемые) объекты и отношения =====
=== Основные объекты ===
  - Точки
  - Отрезки

=== Основные отношения ===
  - Точка является концом отрезка
  - Точка лежит внутри отрезка
  - Два отрезка равны друг другу

===== Аксиомы =====
==== 1. Аксиомы связи точек и отрезков ====
=== Аксиома 1.1 ===
Для каждого отрезка существует две точки, являющиеся его концами.

=== Аксиома 1.2 ===
Для каждого отрезка существует не более двух точек, являющихся его концами.

=== Аксиома 1.3 ===
Для каждых двух точек существует отрезок, концами которого они являются.

=== Аксиома 1.4 ===
Существует не более одного отрезка с данными концами.

=== Аксиома 1.5 ===
Для каждого отрезка существует лежащая на нем точка.

=== Аксиома 1.6 ===
Точка, лежащая на отрезке, не является его концом.

==== 2. Аксиомы разделения и соединения отрезков ====
=== Аксиома 2.1 ===
Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то $AB=AC\cup BC$.

Более подробно:
  - Если $C$ на $AB$ и $D$ на $AC$ (или на $BC$), то $D$ на $AB$.
  - Если $C$ на $AB$ и $D$ на $AB$ ($D\neq C$), то $D$ на $AC$ или на $BC$.

=== Аксиома 2.2 ===
Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то $AC\cap CB=C$.

=== Аксиома 2.3 ===
Если $C$ на $AB$ и $B$ на $CD$, то $AB\cup CD=AD$.

==== 3. Аксиомы о равенстве и сравнении отрезков ====
=== Аксиома 3.1 ===
Для каждых двух отрезков $AB$ и $CD$ существует отрезок $AE$, равный $CD$ и налегающий на $AB$.

=== Аксиома 3.2 ===
Для каждых двух отрезков $AB$ и $CD$ существует не более одного отрезка $AE$, равного $CD$ и налегающего на $AB$.

=== Аксиома 3.3 ===
Если отрезки равны одному и тому же отрезку, то они равны друг другу.
 
=== Аксиома 3.4 ===
Если $C$ на $AB$ и $C'$ на $A'B'$ и $AC=A'C'$, $BC=B'C'$, то $AB=A'B'$.

=== Аксиома 3.5 (Аксиома Архимеда) ===
При любых двух отрезках $AB$ и $CD$ существует отрезок $AA_n$, содержащий $AB$ и такой =, что на нем есть такие точки $A_1, \ldots, A_{n-1}$, что $AA_1=\ldots=A_{n-1}A_n=CD$.

==== Аксиома непрерывности ====
=== Аксиома 4.1 ===
Если $\ \ \ldots\subset A_2B_2\subset A_1B_1$, то существует точка, принадлежащая каждому из отрезков $A_1B_1$, $A_2B_2$, и т.д.

==== Плоскостные аксиомы ====
=== Аксиома 5.1 ===
Существуют три точки, не лежащие на одном отрезке.
=== Аксиома 5.2 (аксиома Паша)===
Если отрезок пересекает сторону треугольника, то он сам или некоторый содержащий его отрезок пересекает другую сторону, либо проходит через его вершину.
=== Аксиома 5.3 ===
Для любого треугольника $ABC$ и отрезка $A'B'$,  равного $AB$, с любой данной стороны от $A'B'$ существует такая точка $C'$, что $A'C'=AC$, $BC=B'C'$.

=== Аксиома 5.4 ===
Если $AB=A'B'$, $AC=A'C'$, $BC=B'C'$ и $D$, $D'$ -- такие точки на $AB$ и $A'B'$, что $AD=A'D'$, то также $CD=C'D'$.

=== Аксиома 5.5 ===
Если точки $C$ и $D$ лежат с одной стороны от отрезка $AB$ и отрезки $AC$ и $BD$ равны и образуют с $AB$ прямые углы, то $CD=AB$.