Теорема 1

Рассмотрим тетраэдр , в котором . Угол между ребрами и обозначим . Тогда можно вычислить по формуле?:

Доказательство

Построим отрезки и – средние линии треугольников и . Тогда, в силу параллельности, .

Найдем угол . Для этого найдем все стороны треугольника .

, так как это средние линии.

Отрезок – это медиана треугольника . Отрезки и , в свою очередь, являются медианами треугольников и соответственно. Тогда, применяя формулу для нахождения медианы, получаем:

Используем эти соотношения для нахождения LM по той же формуле: .

Теперь нам известны все стороны в треугольнике . Тогда, по теореме косинусов: .

Искомый угол является углом между прямыми, а значит, . Следовательно, либо , либо , а значит . А значит,

Теорема 2

Рассмотрим тетраэдр , в котором . Угол между ребрами и обозначим . Тогда можно вычислить по формуле:

Доказательство

Выпишем скалярное произведение векторов и :

.

Тогда .

Заметим, что . Подставим это соотношение в формулу для косинуса и раскроем скобки в числителе:

Искомый угол является углом между прямыми, а значит, . И так как либо , либо , то .

Подставив обозначения из условия, получим формулу: