Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия | |
math-public:angle_in_tetr [2018/03/16 01:40] – labreslav | math-public:angle_in_tetr [2018/04/22 21:24] (текущий) – labreslav |
---|
==== Доказательство ==== | ==== Доказательство ==== |
| |
{{ :math-public:angle_tetra.jpg?350|}} | [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/detail.php?id=math-public:angle_in_tetr&media=math-public:angle_tetra.jpg|{{ :math-public:angle_tetra.jpg?350}}]] |
| |
Построим отрезки $MN$ и $NL$ – средние линии треугольников $APC$ и $ABC$. Тогда, в силу параллельности, $\varphi=\angle(MN, NL)$. | Построим отрезки $MN$ и $NL$ – средние линии треугольников $APC$ и $ABC$. Тогда, в силу параллельности, $\varphi=\angle(MN, NL)$. |
Отрезок $LM$ – это медиана треугольника $AMB$. Отрезки $AM$ и $BM$, в свою очередь, являются медианами треугольников $APC$ и $BPC$ соответственно. Тогда, применяя формулу для нахождения медианы, получаем: $AM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a_1^2+2b_2^2-c_1^2}, BM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b_1^2+2a_2^2-c_1^2}$ | Отрезок $LM$ – это медиана треугольника $AMB$. Отрезки $AM$ и $BM$, в свою очередь, являются медианами треугольников $APC$ и $BPC$ соответственно. Тогда, применяя формулу для нахождения медианы, получаем: $AM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a_1^2+2b_2^2-c_1^2}, BM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b_1^2+2a_2^2-c_1^2}$ |
| |
Используем эти соотношения для нахождения LM по той же формуле: $LM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2AM^2+2BM^2-AB^2}=\\ = \dfrac{1}{2}\sqrt{2\cdot\dfrac{1}{4}(2a_1^2+2b_2^2-c_1^2)+2\cdot\dfrac{1}{4}(2b_1^2+2a_2^2-c_1^2)-c_2^2}=\\=\dfrac{1}{2}\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-c_1^2-c_2^2}$. | Используем эти соотношения для нахождения $LM$ по той же формуле: $LM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2AM^2+2BM^2-AB^2}=\\ = \dfrac{1}{2}\sqrt{2\cdot\dfrac{1}{4}(2a_1^2+2b_2^2-c_1^2)+2\cdot\dfrac{1}{4}(2b_1^2+2a_2^2-c_1^2)-c_2^2}=\\=\dfrac{1}{2}\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-c_1^2-c_2^2}$. |
| |
Теперь нам известны все стороны в треугольнике $LMN$. Тогда, по теореме косинусов: $\cos{\angle LNM} = \dfrac{LN^2+MN^2-LM^2}{2\cdot LN\cdot MN} =\\=\dfrac{\dfrac{a_2^2}{4}+\dfrac{a_1^2}{4}-\dfrac{1}{4}(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-c_1^2-c_2^2)}{2\cdot\dfrac{a_1\cdot a_2}{4}} =\\= \dfrac{c_1^2+c_2^2-b_1^2-b_2^2}{2\cdot a_1\cdot a_2}$. | Теперь нам известны все стороны в треугольнике $LMN$. Тогда, по теореме косинусов: $\cos{\angle LNM} = \dfrac{LN^2+MN^2-LM^2}{2\cdot LN\cdot MN} =\\=\dfrac{\dfrac{a_2^2}{4}+\dfrac{a_1^2}{4}-\dfrac{1}{4}(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-c_1^2-c_2^2)}{2\cdot\dfrac{a_1\cdot a_2}{4}} =\\= \dfrac{c_1^2+c_2^2-b_1^2-b_2^2}{2\cdot a_1\cdot a_2}$. |
==== Доказательство ==== | ==== Доказательство ==== |
| |
{{ :math-public:angle_tetra2.jpg?350|}} | [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/detail.php?id=math-public:angle_in_tetr&media=math-public:angle_tetra2.jpg|{{ :math-public:angle_tetra2.jpg?350}}]] |
| |
Выпишем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AP}$ и $\overrightarrow{BC}$: | Выпишем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AP}$ и $\overrightarrow{BC}$: |