Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:angle_in_tetr

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:angle_in_tetr [2018/03/16 01:40]
labreslav
math-public:angle_in_tetr [2018/04/22 21:24] (текущий)
labreslav
Строка 5: Строка 5:
 ==== Доказательство ==== ==== Доказательство ====
  
-{{ :​math-public:​angle_tetra.jpg?​350|}}+[[http://​wiki.sch239.net/​lib/​exe/​detail.php?​id=math-public:​angle_in_tetr&​media=math-public:​angle_tetra.jpg|{{  :​math-public:​angle_tetra.jpg?​350}}]]
  
 Построим отрезки $MN$ и $NL$ – средние линии треугольников $APC$ и $ABC$. Тогда, в силу параллельности,​ $\varphi=\angle(MN,​ NL)$. Построим отрезки $MN$ и $NL$ – средние линии треугольников $APC$ и $ABC$. Тогда, в силу параллельности,​ $\varphi=\angle(MN,​ NL)$.
Строка 15: Строка 15:
 Отрезок $LM$ – это медиана треугольника $AMB$. Отрезки $AM$ и $BM$, в свою очередь,​ являются медианами треугольников $APC$ и $BPC$ соответственно. Тогда, применяя формулу для нахождения медианы,​ получаем:​ $AM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a_1^2+2b_2^2-c_1^2},​ BM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b_1^2+2a_2^2-c_1^2}$ Отрезок $LM$ – это медиана треугольника $AMB$. Отрезки $AM$ и $BM$, в свою очередь,​ являются медианами треугольников $APC$ и $BPC$ соответственно. Тогда, применяя формулу для нахождения медианы,​ получаем:​ $AM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a_1^2+2b_2^2-c_1^2},​ BM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b_1^2+2a_2^2-c_1^2}$
  
-Используем эти соотношения для нахождения LM по той же формуле:​ $LM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2AM^2+2BM^2-AB^2}=\\ = \dfrac{1}{2}\sqrt{2\cdot\dfrac{1}{4}(2a_1^2+2b_2^2-c_1^2)+2\cdot\dfrac{1}{4}(2b_1^2+2a_2^2-c_1^2)-c_2^2}=\\=\dfrac{1}{2}\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-c_1^2-c_2^2}$.+Используем эти соотношения для нахождения ​$LMпо той же формуле:​ $LM = \dfrac{1}{2}\sqrt{2AM^2+2BM^2-AB^2}=\\ = \dfrac{1}{2}\sqrt{2\cdot\dfrac{1}{4}(2a_1^2+2b_2^2-c_1^2)+2\cdot\dfrac{1}{4}(2b_1^2+2a_2^2-c_1^2)-c_2^2}=\\=\dfrac{1}{2}\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-c_1^2-c_2^2}$.
  
 Теперь нам известны все стороны в треугольнике $LMN$. Тогда, по теореме косинусов:​ $\cos{\angle LNM} = \dfrac{LN^2+MN^2-LM^2}{2\cdot LN\cdot MN} =\\=\dfrac{\dfrac{a_2^2}{4}+\dfrac{a_1^2}{4}-\dfrac{1}{4}(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-c_1^2-c_2^2)}{2\cdot\dfrac{a_1\cdot a_2}{4}} =\\= \dfrac{c_1^2+c_2^2-b_1^2-b_2^2}{2\cdot a_1\cdot a_2}$. Теперь нам известны все стороны в треугольнике $LMN$. Тогда, по теореме косинусов:​ $\cos{\angle LNM} = \dfrac{LN^2+MN^2-LM^2}{2\cdot LN\cdot MN} =\\=\dfrac{\dfrac{a_2^2}{4}+\dfrac{a_1^2}{4}-\dfrac{1}{4}(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-c_1^2-c_2^2)}{2\cdot\dfrac{a_1\cdot a_2}{4}} =\\= \dfrac{c_1^2+c_2^2-b_1^2-b_2^2}{2\cdot a_1\cdot a_2}$.
Строка 27: Строка 27:
 ==== Доказательство ==== ==== Доказательство ====
  
-{{ :​math-public:​angle_tetra2.jpg?​350|}}+[[http://​wiki.sch239.net/​lib/​exe/​detail.php?​id=math-public:​angle_in_tetr&​media=math-public:​angle_tetra2.jpg|{{  :​math-public:​angle_tetra2.jpg?​350}}]]
  
 Выпишем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AP}$ и $\overrightarrow{BC}$:​ Выпишем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AP}$ и $\overrightarrow{BC}$:​
math-public/angle_in_tetr.txt · Последние изменения: 2018/04/22 21:24 — labreslav