math-public:centroid
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия | |||
math-public:centroid [2017/02/08 21:27] – [Доказательство] labreslav | math-public:centroid [2017/02/08 21:28] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Теорема о медианах треугольника===== | ||
+ | Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения | ||
+ | делятся в отношении $2:1$, считая от вершины. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Первый способ.=== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором | ||
+ | проведены медианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | Пусть | ||
+ | медианы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $Z$.\\ | ||
+ | |||
+ | Заметим, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | $A_1C_1\parallel AC$, и $\angle 1=\angle 3, \angle 2=\angle 4$, и, следовательно | ||
+ | $\triangle A_1C_1Z\sim \triangle ACZ$.\\ | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | $\dfrac{A_1C_1}{AC}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{C_1Z}{CZ}=\dfrac{A_1Z}{AZ}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Аналогично, | ||
+ | пересекаются в точке, разбивающей медиану $AA_1$ в таком же | ||
+ | отношении $1:2$, считая от точки $A_1$, а это точка $Z$.\\ | ||
+ | |||
+ | Итак, все | ||
+ | медианы пересекаются в точке $Z$ и делятся ею в отношении $2:1$, | ||
+ | считая от вершины треугольника. | ||
+ | |||
+ | ===Второй способ.=== | ||
+ | Рассмотрим | ||
+ | треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | точке.\\ | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | $\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$, | ||
+ | то по теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке. Обозначим эту | ||
+ | точку $Z$.\\ | ||
+ | |||
+ | По теореме Менелая для треугольника $ABB_1$ и секущей | ||
+ | $CC_1$ имеем | ||
+ | $\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BZ}{ZB_1}\cdot\dfrac{B_1C}{CA}=1$, | ||
+ | $\dfrac{BZ}{ZB_1}=\dfrac{2}{1}$.\\ | ||
+ | |||
+ | | ||
+ | $\dfrac{AZ}{ZA_1}=\dfrac{CZ}{ZC_1}=\dfrac{2}{1}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Медианы делят треугольник на шесть равных по площади треугольников. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AA_1, | ||
+ | BB_1$ и $CC_1$.\\ | ||
+ | |||
+ | Пусть они пересекаются в точке $Z$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | по площади.\\ | ||
+ | |||
+ | Найдем площадь треугольника $AC_1Z$.\\ | ||
+ | |||
+ | Треугольники $AC_1C$ и $CC_1B$ имеют общую высоту, | ||
+ | $S_{CC_1B}=S_{AC_1C}=\frac{1}{2}\cdot S_{ABC}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Треугольники $ACZ$ и | ||
+ | $AZC_1$ имеют общую высоту, | ||
+ | следовательно, | ||
+ | $S_{ACZ}: | ||
+ | |||
+ | Тогда $S_{AC_1Z}=\dfrac{1}{3}\cdot | ||
+ | S_{ACC_1}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot S_{ABC}=\dfrac{1}{6} | ||
+ | S_{ABC}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Аналогично можно найти площади других получившихся | ||
+ | треугольников, | ||
math-public/centroid.txt · Последнее изменение: 2017/02/08 21:28 — labreslav