math-public:chetyre_zamechatelnye_tochki_v_treugolnike
no way to compare when less than two revisions
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
— | math-public:chetyre_zamechatelnye_tochki_v_treugolnike [2016/04/08 00:11] (текущий) – создано labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =======Четыре замечательные точки треугольника======= | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Окружность называется вписанной в многоугольник, | ||
+ | всех его сторон. Многоугольник в таком случае называется описанным. | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Окружность называется описанной около многоугольника, | ||
+ | проходит через все его вершины. Многоугольник в таком случае | ||
+ | называется вписанным в данную окружность. | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или | ||
+ | центром масс. | ||
+ | |||
+ | =====Замечение===== | ||
+ | Медианы треугольника пересекаются в одной точке по теореме. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема о биссектрисе, | ||
+ | Биссектриса неразвернутого угла -- это геометрическое место точек, | ||
+ | равноудаленных от его сторон. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим угол $\angle A$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Возьмём произвольную точку $M$ на биссектрисе угла $A$ и опустим из неё перпендикуляры | ||
+ | $MB$ и $MC$ на стороны данного угла. | ||
+ | |||
+ | Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $MB=MC$, и | ||
+ | следовательно, | ||
+ | |||
+ | Обратно: | ||
+ | биссектрисе. | ||
+ | |||
+ | Возьмём произвольную точку $M$, из которой опущены перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны угла и при этом $MB=MC$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и катету, | ||
+ | то есть $AM$ -- биссектриса угла $\angle A$. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Первый способ.=== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены | ||
+ | биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. | ||
+ | |||
+ | По теореме $\dfrac{AC_1}{C_1B}=\dfrac{AC}{BC}, | ||
+ | |||
+ | Перемножая эти равенства, | ||
+ | $\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{AC}{BC}\cdot | ||
+ | \dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}=1$, | ||
+ | что биссектрисы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной | ||
+ | точке. | ||
+ | |||
+ | ===Второй способ.=== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Пусть биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $I$. | ||
+ | |||
+ | Тогда по теореме $\rho(I; | ||
+ | |||
+ | Тогда $\rho(I; | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | В любой треугольник можно вписать окружность, | ||
+ | являться точка пересечения его биссектрис. Такая окружность | ||
+ | единственна. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и обозначим буквой $I$ | ||
+ | точку пересечения его биссектрис. | ||
+ | |||
+ | Проведем из этой точки перпендикуляры $IK, IL$ и $IM$ к сторонам $AB, BC$ и $CA$ соответственно. | ||
+ | |||
+ | Так как точка $I$ равноудалена от сторон треугольника, | ||
+ | |||
+ | Поэтому окружность с центром $I$ радиуса $IK$ проходит через точки $K, L$ и $M$. | ||
+ | |||
+ | Стороны треугольника $ABC$ касаются этой окружности в точках $K, L, M$ так | ||
+ | как они перпендикулярны к радиусам $IK, IL$ и $IM$. | ||
+ | |||
+ | Значит окружность с центром $I$ радиуса $IK$ является вписанной в треугольник $ABC$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | В самом деле, допустим, | ||
+ | |||
+ | Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит совпадает с точкой $I$ пересечения биссектрис треугольника, | ||
+ | треугольника. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Если все биссектрисы выпуклого многоугольника пересекаются в одной | ||
+ | точке, то в него можно вписать окружность, | ||
+ | точка пересечения биссектрис. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка будет | ||
+ | равноудалена от всех её сторон, | ||
+ | многоугольника будут равны, а окружность с центром в этой точке и с | ||
+ | радиусом, | ||
+ | стороны, | ||
+ | |||
+ | =====Теорема о серединном перпендикуляре, | ||
+ | Серединный перпендикуляр к отрезку -- это геометрическое место | ||
+ | точек, равноудаленных от концов отрезка. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим отрезок $AB$. | ||
+ | |||
+ | Середину отрезка обозначим $C$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | равноудалена от сторон. | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Если $M=C$, то очевидно, | ||
+ | |||
+ | Если $M\neq C$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум | ||
+ | катетам, | ||
+ | |||
+ | Обратно, | ||
+ | перпендикуляру. | ||
+ | |||
+ | Возьмём произвольную точку $M$, для которой $MA=MB$. | ||
+ | |||
+ | Если $M=C$, то очевидно, | ||
+ | |||
+ | Если $M C$, то треугольник $AMB$ -- равнобедренный, | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в | ||
+ | одной точке. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором точки $M, N$ и | ||
+ | $P$ являются серединами сторон $AB, BC$ и $CA$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим серединные перпендикуляры к сторонам $AB, BC, AC$ как $m, | ||
+ | n, p$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Если предположить, | ||
+ | |||
+ | Но тогда получится, | ||
+ | перпендикулярные прямой $n$, что невозможно, | ||
+ | $m$ и $n$ пересекаются. | ||
+ | |||
+ | Пусть они пересекаются в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | Тогда по теореме $OA=OB$, так как точка $O\in m$, и $OB=OC$, так как | ||
+ | $O\in n$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $OA=OC$, и, следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Около любого треугольника можно описать окружность, | ||
+ | будет точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. | ||
+ | Такая окружность единственна. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором серединные перпендикуляры к | ||
+ | сторонам пересекаются в точке $O$. | ||
+ | |||
+ | Тогда точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника, | ||
+ | |||
+ | Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ будет описанной около данного | ||
+ | треугольника. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Предположим, | ||
+ | |||
+ | Тогда, центры этих окружностей равноудалены от вершин треугольника. | ||
+ | |||
+ | Но такая точка только одна -- это точка пересечения серединных перпендикуляров. | ||
+ | |||
+ | Кроме того их радиусы равны $OA$, следовательно эти окружности совпадают. | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого | ||
+ | многоугольника пересекаются в одной точке, то около него можно | ||
+ | описать окружность, | ||
+ | серединных перпендикуляров. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого | ||
+ | многоугольника пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена | ||
+ | от всех его вершин, | ||
+ | точке и с радиусом, | ||
+ | его вершин, | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором проведены | ||
+ | высоты $AA_1, BB_1, CC_1$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Проведем через точку $B$ прямую, | ||
+ | $AB$, а через точку $A$ -- прямую, | ||
+ | |||
+ | Эти прямые, | ||
+ | |||
+ | Четырёхугольник $AMBC$ является параллелограммом ($MB\parallel AC$, $MA\parallel BC$). | ||
+ | |||
+ | Аналогично, | ||
+ | |||
+ | Тогда $MB=AC=BN$, как противоположные стороны параллелограмма. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Аналогично, | ||
+ | |||
+ | Получается, | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Если через вершины треугольника провести прямые, | ||
+ | противоположным сторонам, | ||
+ | подобный исходному с коэффициентом $2$. При этом вершины исходного | ||
+ | треугольника являются серединами сторон образовавшегося | ||
+ | треугольника. | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Серединные перпендикуляры треугольника являются высотами серединного | ||
+ | треугольника. Следовательно, | ||
+ | является центром окружности, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Утверждение полностью следует из доказательства теоремы. | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром | ||
+ | треугольника. | ||
math-public/chetyre_zamechatelnye_tochki_v_treugolnike.txt · Последнее изменение: 2016/04/08 00:11 — labreslav