Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
=======Четыре замечательные точки треугольника=======
=====Определение=====
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается
всех его сторон. Многоугольник в таком случае называется описанным.

=====Определение=====
Окружность называется описанной около многоугольника, если она
проходит через все его вершины. Многоугольник в таком случае
называется вписанным в данную окружность.
=====Определение=====
Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или
центром масс.

=====Замечение=====
Медианы треугольника пересекаются в одной точке по теореме.

=====Теорема о биссектрисе, как ГМТ=====
Биссектриса неразвернутого угла -- это геометрическое место точек,
равноудаленных от его сторон.

{{:math-public:089a.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим угол $\angle A$.

Докажем, что любая точка, принадлежащая биссектрисе равноудалена от сторон этого угла.

Возьмём произвольную точку $M$ на биссектрисе угла $A$ и опустим из неё перпендикуляры
$MB$ и $MC$ на стороны данного угла.

Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $MB=MC$, и
следовательно, точка $M$ равноудалена от сторон угла.

Обратно: докажем, что если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на
биссектрисе.

Возьмём произвольную точку $M$, из которой опущены перпендикуляры $MB$ и $MC$ на стороны угла и при этом $MB=MC$.

Докажем, что точка $M$ принадлежит биссектрисе.

Треугольники $AMB$ и $AMC$ равны по гипотенузе и катету, следовательно, $\angle BAM=\angle CAM$,
то есть $AM$ -- биссектриса угла $\angle A$.

=====Теорема=====
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

{{:math-public:090.jpg?direct&300|}}


====Доказательство====
===Первый способ.===

Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены
биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

По теореме $\dfrac{AC_1}{C_1B}=\dfrac{AC}{BC}, \dfrac{BA_1}{A_1C}=\dfrac{AB}{AC}, \dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{BC}{BA}$.

Перемножая эти равенства, получим:
$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=\dfrac{AC}{BC}\cdot
\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{BA}=1$, а это по теореме Чевы означает,
что биссектрисы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной
точке.

===Второй способ.===
Рассмотрим треугольник $ABC$ в котором проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Докажем, что все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Пусть биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $I$.

Тогда по теореме $\rho(I;AB)=\rho(I;AC)$, так как $I\in AA_1$, и $\rho(I;BA)=\rho(I;BC)$, так как $I\in BB_1$.

Тогда $\rho(I;CA)=\rho(I;CB)$, что означает, что $I\in CC_1$, то есть все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

=====Следствие=====
В любой треугольник можно вписать окружность, центром которой будет
являться точка пересечения его биссектрис. Такая окружность
единственна.

{{:math-public:091.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и обозначим буквой $I$
точку пересечения его биссектрис.

Проведем из этой точки перпендикуляры $IK, IL$ и $IM$ к сторонам $AB, BC$ и $CA$ соответственно.

Так как точка $I$ равноудалена от сторон треугольника, то $IK=IL=IM$.

Поэтому окружность с центром $I$ радиуса $IK$ проходит через точки $K, L$ и $M$.

Стороны треугольника $ABC$ касаются этой окружности в точках $K, L, M$ так
как они перпендикулярны к радиусам $IK, IL$ и $IM$.

Значит окружность с центром $I$ радиуса $IK$ является вписанной в треугольник $ABC$.

Докажем, что такая окружность единственна.

В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности.

Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит совпадает с точкой $I$ пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки $I$ до сторон
треугольника.

Следовательно, эти окружности совпадают.

=====Следствие=====
Если все биссектрисы выпуклого многоугольника пересекаются в одной
точке, то в него можно вписать окружность, центром которой будет
точка пересечения биссектрис.

====Доказательство====
Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка будет
равноудалена от всех её сторон, то есть перпендикуляры к сторонам
многоугольника будут равны, а окружность с центром в этой точке и с
радиусом, равным расстоянию от точки пересечения биссектрис до
стороны, будет касаться всех сторон.

=====Теорема о серединном перпендикуляре, как ГМТ=====
Серединный перпендикуляр к отрезку -- это геометрическое место
точек, равноудаленных от концов отрезка.

{{:math-public:092.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим отрезок $AB$.

Середину отрезка обозначим $C$.

Докажем, что любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру,
равноудалена от сторон.

Действительно, возьмём произвольную точку $M$ на серединном перпендикуляре.

Если $M=C$, то очевидно, что $MA=MB$.

Если $M\neq C$, то треугольники $AMC$ и $BMC$ равны по двум
катетам, следовательно $AM=MB$.

Обратно, докажем, что любая точка равноудалённая от сторон, принадлежит серединному
перпендикуляру.

Возьмём произвольную точку $M$, для которой $MA=MB$.

Если $M=C$, то очевидно, $M$ принадлежит серединному перпендикуляру.

Если $M C$, то треугольник $AMB$ -- равнобедренный, и, следовательно, медиана $MC$ является высотой, то есть $MC$ -- серединный перпендикуляр.

=====Следствие=====
Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в
одной точке.

{{:math-public:093.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором точки $M, N$ и
$P$ являются серединами сторон $AB, BC$ и $CA$.

Обозначим серединные перпендикуляры к сторонам $AB, BC, AC$ как $m,
n, p$.

Докажем, что эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Если предположить, что $m\parallel n$, то получится, что $n\perp BA$, так как $m\perp BA$.

Но тогда получится, что через точку $B$ проходят две различные прямые $BA$ и $BC$,
перпендикулярные прямой $n$, что невозможно, следовательно, прямые
$m$ и $n$ пересекаются.

Пусть они пересекаются в точке $O$.

Тогда по теореме $OA=OB$, так как точка $O\in m$, и $OB=OC$, так как
$O\in n$.

Тогда $OA=OC$, и, следовательно, $O\in p$.

=====Следствие=====
Около любого треугольника можно описать окружность, центром которой
будет точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Такая окружность единственна.

{{:math-public:094.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором серединные перпендикуляры к
сторонам пересекаются в точке $O$.

Тогда точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$.

Тогда окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ будет описанной около данного
треугольника.

Докажем, что такая окружность единственна.

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности.

Тогда, центры этих окружностей равноудалены от вершин треугольника.

Но такая точка только одна -- это точка пересечения серединных перпендикуляров.

Кроме того их радиусы равны $OA$, следовательно эти окружности совпадают.

=====Следствие=====
Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого
многоугольника пересекаются в одной точке, то около него можно
описать окружность, центром которой будет точка пересечения
серединных перпендикуляров.

====Доказательство====
Если все серединные перпендикуляры к сторонам выпуклого
многоугольника пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена
от всех его вершин, и, следовательно, окружность с центром в этой
точке и с радиусом, равным расстоянию от этой точки до какой-либо из
его вершин, будет описанной около этого многоугольника.

=====Теорема=====
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

{{:math-public:095.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, в котором проведены
высоты $AA_1, BB_1, CC_1$.

Докажем, что все высоты пересекаются в одной точке.

Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AC$, через точку $C$ -- прямую, параллельную
$AB$, а через точку $A$ -- прямую, параллельную $BC$.

Эти прямые, пересекаясь, образуют треугольник $MNP$.

Четырёхугольник $AMBC$ является параллелограммом ($MB\parallel AC$, $MA\parallel BC$).

Аналогично, $ABNC$ -- параллелограмм.

Тогда $MB=AC=BN$, как противоположные стороны параллелограмма.

Следовательно, $B$ -- середина $MN$, а $BB_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $MN$.

Аналогично, $AA_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $MP$, $CC_1$ -- серединный перпендикуляр к отрезку $PN$.

Получается, что $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, как серединные перпендикуляры треугольника $MNP$.

=====Следствие=====
Если через вершины треугольника провести прямые, параллельные
противоположным сторонам, то пересекаясь, они образуют треугольник
подобный исходному с коэффициентом $2$. При этом вершины исходного
треугольника являются серединами сторон образовавшегося
треугольника.

=====Следствие=====
Серединные перпендикуляры треугольника являются высотами серединного
треугольника. Следовательно, ортоцентр серединного треугольника
является центром окружности, описанной около исходного треугольника.

====Доказательство====
Утверждение полностью следует из доказательства теоремы.

=====Определение=====
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром
треугольника.