Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версияСледующая версияСледующая версия справа и слева |
math-public:distance_in_tetr [2018/03/13 17:25] – labreslav | math-public:distance_in_tetr [2022/02/03 00:45] – labreslav |
---|
Пусть в тетраэдре $PABC$ известно, что $PA=a, BC=b, \angle(AP,BC)=\varphi$. | Пусть в тетраэдре $PABC$ известно, что $PA=a, BC=b, \angle(AP,BC)=\varphi$. |
| |
Тогда расстояние $\rho$ между ребрами $AP$ и $BC$ вычисляется из соотношения $$V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi},$$ где $V=\dfrac{1}{3}\cdot h\cdot S$ --- то есть треть произведения любой высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена. | Тогда расстояние $\rho$ между ребрами $AP$ и $BC$ вычисляется из соотношения $$V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi},$$ где $V=\dfrac{1}{3}\cdot h\cdot S$ --- то есть треть произведение любой высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена. |
| |
====Доказательство:==== | ====Доказательство:==== |
{{ :math-public:untitled-1.jpg?700|}} | {{ :math-public:untitled-1.jpg?700|}} |
| |
| Рассмотрим основной случай, когда $\varphi\neq 90^\circ$ и $\angle PEK\neq 90^\circ$ (угол $\angle PEK$ будет построен в ходе доказательства). |
| |
Проведем через вершину $A$ прямую $l$, параллельную прямой $BC$, и опустим на нее перпендикуляр $PE$ из точки $P$. Таким образом, получим, что $AE\parallel BC$, а значит $\angle PAE = \angle(AP, BC) = \varphi$. | Проведем через вершину $A$ прямую $l$, параллельную прямой $BC$, и опустим на нее перпендикуляр $PE$ из точки $P$. Таким образом, получим, что $AE\parallel BC$, а значит $\angle PAE = \angle(AP, BC) = \varphi$. |
Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: $PE = a \cdot \sin{\varphi}$ (*). | Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: $PE = a \cdot \sin{\varphi}$. |
| |
Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$. Заметим, что отрезок $EK$ равен высоте треугольника $ABC$, проведенной из точки $A$, то есть $EK = AF$. | Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$. Заметим, что отрезок $EK$ равен высоте треугольника $ABC$, проведенной из точки $A$, то есть $EK = AF$. |
| |
Итак, $\rho = \dfrac{2\cdot PH\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$. | Итак, $\rho = \dfrac{2\cdot PH\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$. |
| |
| В остальных случаях, когда углы $\varphi$ или $\angle PEK$ могут быть прямыми, тот же результат получается аналогичным образом с той лишь разницей, что некоторые точки из приведённого доказательства могут совпадать. |
| Например, если $\varphi = 90,$ то $A=E$, а если $\angle PEK = 90,$ то $T=E=K$. |
| |
Обратим внимание, что тогда $PH\cdot S(ABC) = \dfrac{1}{2}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$. В левой части этого равенства стоит произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена. | Обратим внимание, что тогда $PH\cdot S(ABC) = \dfrac{1}{2}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$. В левой части этого равенства стоит произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена. |
| |
Но несложно видеть (см. рисунок), что можно выбрать другую высоту и площадь другого треугольника, и результат получится аналогичный. Например, можно мысленно все тетраэдры на рисунке поставить на закрашенную грань и повернуть вокруг вертикальной оси так, чтобы расположение красных ребер, высоты и закрашенной грани стало одинаковым. | Но несложно видеть (см. рисунок), что можно выбрать другую высоту и площадь другого треугольника, и результат получится аналогичный. Например, можно мысленно все тетраэдры на рисунке поставить на закрашенную грань и затем повернуть вокруг вертикальной оси так, чтобы расположение красных ребер стало одинаковым. |
| |
{{ :math-public:tgo3vujegtq.jpg |}} | {{ :math-public:tgo3vujegtq.jpg |}} |