math-public:distance_in_tetr
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версияСледующая версияСледующая версия справа и слева | ||
math-public:distance_in_tetr [2018/03/13 17:30] – labreslav | math-public:distance_in_tetr [2022/02/03 00:23] – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 2: | Строка 2: | ||
Пусть в тетраэдре $PABC$ известно, | Пусть в тетраэдре $PABC$ известно, | ||
- | Тогда расстояние $\rho$ между ребрами $AP$ и $BC$ вычисляется из соотношения $$V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}, | + | Тогда расстояние $\rho$ между ребрами $AP$ и $BC$ вычисляется из соотношения $$V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}, |
====Доказательство: | ====Доказательство: | ||
Строка 8: | Строка 8: | ||
Проведем через вершину $A$ прямую $l$, параллельную прямой $BC$, и опустим на нее перпендикуляр $PE$ из точки $P$. Таким образом, | Проведем через вершину $A$ прямую $l$, параллельную прямой $BC$, и опустим на нее перпендикуляр $PE$ из точки $P$. Таким образом, | ||
- | Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: | + | Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: |
Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$. Заметим, | Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$. Заметим, | ||
Строка 16: | Строка 16: | ||
Поскольку $PE\perp AE$ и $EK\perp AE$, то по теореме о трех перпендикулярах перпендикуляр $KT$ из точки $K$ к плоскости $PAE$ падает на прямую $PE$, а высота $PH$ из точки $P$ на плоскость $ABC$ падает на прямую $EK$. | Поскольку $PE\perp AE$ и $EK\perp AE$, то по теореме о трех перпендикулярах перпендикуляр $KT$ из точки $K$ к плоскости $PAE$ падает на прямую $PE$, а высота $PH$ из точки $P$ на плоскость $ABC$ падает на прямую $EK$. | ||
- | Выпишем площадь треугольника $PEK$ двумя способами: | + | Если $\angle PEK = 90^\circ$, то ... |
+ | |||
+ | |||
+ | Пусть теперь $\angle PEK \neq 90^\circ$. Тогда выпишем площадь треугольника $PEK$ двумя способами: | ||
Тогда $\rho = KT = \dfrac{PH\cdot EK}{PE} = \dfrac{PH\cdot AF}{a\cdot\sin{\varphi}} = \dfrac{PH\cdot AF\cdot BC}{a\cdot\sin{\varphi}\cdot BC}=\dfrac{PH\cdot 2\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$. | Тогда $\rho = KT = \dfrac{PH\cdot EK}{PE} = \dfrac{PH\cdot AF}{a\cdot\sin{\varphi}} = \dfrac{PH\cdot AF\cdot BC}{a\cdot\sin{\varphi}\cdot BC}=\dfrac{PH\cdot 2\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$. | ||
Строка 24: | Строка 27: | ||
Обратим внимание, | Обратим внимание, | ||
- | Но несложно видеть (см. рисунок), | + | Но несложно видеть (см. рисунок), |
{{ : | {{ : |
math-public/distance_in_tetr.txt · Последнее изменение: 2022/02/03 00:46 — labreslav