Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:distance_in_tetr [2018/03/13 16:40] – labreslav
+++ math-public:distance_in_tetr [2022/02/03 00:46] (текущий) – labreslav
@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 Пусть в тетраэдре $PABC$ известно, что $PA=a, BC=b, \angle(AP,BC)=\varphi$.
-Тогда расстояние $\rho$ между ребрами $AP$ и $BC$ вычисляется из соотношения $$V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi},$$ где $V=\dfrac{1}{3}\cdot h\cdot S$ --- то есть треть произведения любой высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена.
+Тогда расстояние $\rho$ между ребрами $AP$ и $BC$ вычисляется из соотношения $$V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi},$$ где $V=\dfrac{1}{3}\cdot h\cdot S$ --- то есть треть произведение любой высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена.
 ====Доказательство:====
 {{ :math-public:untitled-1.jpg?700|}}
+Рассмотрим основной случай, когда $\varphi\neq 90^\circ$ и $\angle PEK\neq 90^\circ$ (угол $\angle PEK$ будет построен в ходе доказательства).
 Проведем через вершину $A$ прямую $l$, параллельную прямой $BC$, и опустим на нее перпендикуляр $PE$ из точки $P$. Таким образом, получим, что $AE\parallel BC$, а значит $\angle PAE = \angle(AP, BC) = \varphi$.
 Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: $PE = a \cdot \sin{\varphi}$.
-Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$.
+Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$. Заметим, что отрезок $EK$ равен высоте треугольника $ABC$, проведенной из точки $A$, то есть $EK = AF$.
-$EK$ равно высоте треугольника $ABC$, проведенной из точки $A$, то есть $EK = AF$.
 Поскольку $PAE\parallel BC$, то расстояние от прямой $BC$ до прямой $AP$ равно расстоянию то точки $K$ до плоскости $PAE$.
@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 Итак, $\rho = \dfrac{2\cdot PH\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$.
-Обратим внимание, что тогда $PH\cdot S(ABC) = \dfrac{1}{2}\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$. В левой части этого равенства стоит произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена.
+В остальных случаях, когда углы $\varphi$ или $\angle PEK$ могут быть прямыми, тот же результат получается аналогичным образом с той лишь разницей, что некоторые точки из приведённого доказательства могут совпадать.
+Например, если $\varphi = 90^\circ,$ то $A=E$, а если $\angle PEK = 90^\circ,$ то $T=E=H$.
+Обратим внимание, что тогда $PH\cdot S(ABC) = \dfrac{1}{2}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$. В левой части этого равенства стоит произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена.
-Но несложно видеть (см. рисунок), что можно выбрать другую высоту и площадь другого треугольника, и результат получится аналогичный. Например, можно мысленно все тетраэдры на рисунке поставить на закрашенную грань и повернуть вокруг вертикальной оси так, чтобы расположение красных ребер, высоты и закрашенной грани стало одинаковым.
+Но несложно видеть (см. рисунок), что можно выбрать другую высоту и площадь другого треугольника, и результат получится аналогичный. Например, можно мысленно все тетраэдры на рисунке поставить на закрашенную грань и затем повернуть вокруг вертикальной оси так, чтобы расположение красных ребер стало одинаковым.
 {{ :math-public:tgo3vujegtq.jpg |}}
-А поскольку произведение $\dfrac{1}{2}\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$ не зависит от выбора высоты и грани, то произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена, является постоянной величиной для данного тетраэдра.
+А поскольку произведение $\dfrac{1}{2}\cdot \rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$ не зависит от выбора высоты и грани, то произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена, является постоянной величиной для данного тетраэдра.
 Обозначим $V = \dfrac{1}{3} \cdot PH \cdot S(ABC)$.