Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
=====Теорема=====
Пусть в тетраэдре $PABC$ известно, что $PA=a, BC=b, \angle(AP,BC)=\varphi$.

Тогда расстояние $\rho$ между ребрами $AP$ и $BC$ вычисляется из соотношения $$V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi},$$ где $V=\dfrac{1}{3}\cdot h\cdot S$ --- то есть треть произведение любой высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена.

====Доказательство:====
{{ :math-public:untitled-1.jpg?700|}}

Рассмотрим основной случай, когда $\varphi\neq 90^\circ$ и $\angle PEK\neq 90^\circ$ (угол $\angle PEK$ будет построен в ходе доказательства).

Проведем через вершину $A$ прямую $l$, параллельную прямой $BC$, и опустим на нее перпендикуляр $PE$ из точки $P$. Таким образом, получим, что $AE\parallel BC$, а значит $\angle PAE = \angle(AP, BC) = \varphi$.
Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: $PE = a \cdot \sin{\varphi}$.

Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$. Заметим, что отрезок $EK$ равен высоте треугольника $ABC$, проведенной из точки $A$, то есть $EK = AF$.

Поскольку $PAE\parallel BC$, то расстояние от прямой $BC$ до прямой $AP$ равно расстоянию то точки $K$ до плоскости $PAE$.

Поскольку $PE\perp AE$ и $EK\perp AE$, то по теореме о трех перпендикулярах перпендикуляр $KT$ из точки $K$ к плоскости $PAE$ падает на прямую $PE$, а высота $PH$ из точки $P$ на плоскость $ABC$ падает на прямую $EK$.

Выпишем площадь треугольника $PEK$ двумя способами: $S(PEK) = 0,5\cdot PH\cdot EK = 0,5\cdot KT\cdot PE$.

Тогда $\rho = KT = \dfrac{PH\cdot EK}{PE} = \dfrac{PH\cdot AF}{a\cdot\sin{\varphi}} = \dfrac{PH\cdot AF\cdot BC}{a\cdot\sin{\varphi}\cdot BC}=\dfrac{PH\cdot 2\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$.

Итак, $\rho = \dfrac{2\cdot PH\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$.

В остальных случаях, когда углы $\varphi$ или $\angle PEK$ могут быть прямыми, тот же результат получается аналогичным образом с той лишь разницей, что некоторые точки из приведённого доказательства могут совпадать.
Например, если $\varphi = 90^\circ,$ то $A=E$, а если $\angle PEK = 90^\circ,$ то $T=E=H$.

Обратим внимание, что тогда $PH\cdot S(ABC) = \dfrac{1}{2}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$. В левой части этого равенства стоит произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена. 

Но несложно видеть (см. рисунок), что можно выбрать другую высоту и площадь другого треугольника, и результат получится аналогичный. Например, можно мысленно все тетраэдры на рисунке поставить на закрашенную грань и затем повернуть вокруг вертикальной оси так, чтобы расположение красных ребер стало одинаковым.

{{ :math-public:tgo3vujegtq.jpg |}}

А поскольку произведение $\dfrac{1}{2}\cdot \rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$ не зависит от выбора высоты и грани, то произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена, является постоянной величиной для данного тетраэдра.

Обозначим $V = \dfrac{1}{3} \cdot PH \cdot S(ABC)$.

Тогда формула примет вид: $V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$.