math-public:distance_in_tetr
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:distance_in_tetr [2018/03/13 16:40] – labreslav | math-public:distance_in_tetr [2022/02/03 00:46] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 2: | Строка 2: | ||
Пусть в тетраэдре $PABC$ известно, | Пусть в тетраэдре $PABC$ известно, | ||
- | Тогда расстояние $\rho$ между ребрами $AP$ и $BC$ вычисляется из соотношения $$V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}, | + | Тогда расстояние $\rho$ между ребрами $AP$ и $BC$ вычисляется из соотношения $$V = \dfrac{1}{6}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}, |
====Доказательство: | ====Доказательство: | ||
{{ : | {{ : | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим основной случай, | ||
Проведем через вершину $A$ прямую $l$, параллельную прямой $BC$, и опустим на нее перпендикуляр $PE$ из точки $P$. Таким образом, | Проведем через вершину $A$ прямую $l$, параллельную прямой $BC$, и опустим на нее перпендикуляр $PE$ из точки $P$. Таким образом, | ||
Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: | Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: | ||
- | Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$. | + | Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$. |
- | + | ||
- | $EK$ равно высоте треугольника $ABC$, проведенной из точки $A$, то есть $EK = AF$. | + | |
Поскольку $PAE\parallel BC$, то расстояние от прямой $BC$ до прямой $AP$ равно расстоянию то точки $K$ до плоскости $PAE$. | Поскольку $PAE\parallel BC$, то расстояние от прямой $BC$ до прямой $AP$ равно расстоянию то точки $K$ до плоскости $PAE$. | ||
Строка 24: | Строка 24: | ||
Итак, $\rho = \dfrac{2\cdot PH\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$. | Итак, $\rho = \dfrac{2\cdot PH\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$. | ||
- | Обратим внимание, | + | В остальных случаях, |
+ | Например, | ||
+ | |||
+ | Обратим внимание, | ||
- | Но несложно видеть (см. рисунок), | + | Но несложно видеть (см. рисунок), |
{{ : | {{ : | ||
- | А поскольку произведение $\dfrac{1}{2}\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$ не зависит от выбора высоты и грани, то произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена, | + | А поскольку произведение $\dfrac{1}{2}\cdot \rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$ не зависит от выбора высоты и грани, то произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена, |
Обозначим $V = \dfrac{1}{3} \cdot PH \cdot S(ABC)$. | Обозначим $V = \dfrac{1}{3} \cdot PH \cdot S(ABC)$. |
math-public/distance_in_tetr.1520948423.txt.gz · Последнее изменение: 2018/03/13 16:40 — labreslav