Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:distance_in_tetr [2022/02/03 00:26] – labreslav
+++ math-public:distance_in_tetr [2022/02/03 00:46] (текущий) – labreslav
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 ====Доказательство:====
 {{ :math-public:untitled-1.jpg?700|}}
+Рассмотрим основной случай, когда $\varphi\neq 90^\circ$ и $\angle PEK\neq 90^\circ$ (угол $\angle PEK$ будет построен в ходе доказательства).
 Проведем через вершину $A$ прямую $l$, параллельную прямой $BC$, и опустим на нее перпендикуляр $PE$ из точки $P$. Таким образом, получим, что $AE\parallel BC$, а значит $\angle PAE = \angle(AP, BC) = \varphi$.
-Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: $PE = a \cdot \sin{\varphi}$. (Если $\varphi = 90^\circ$, то $A=E$, что не меняет полученного соотношения и дальнейший рассуждений).
+Тогда из прямоугольного треугольника $PAE$ получаем: $PE = a \cdot \sin{\varphi}$.
 Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EK$ к прямой $BC$ в плоскости $ABC$. Заметим, что отрезок $EK$ равен высоте треугольника $ABC$, проведенной из точки $A$, то есть $EK = AF$.
@@ Строка 16: / Строка 18: @@
 Поскольку $PE\perp AE$ и $EK\perp AE$, то по теореме о трех перпендикулярах перпендикуляр $KT$ из точки $K$ к плоскости $PAE$ падает на прямую $PE$, а высота $PH$ из точки $P$ на плоскость $ABC$ падает на прямую $EK$.
-Если $\angle PEK = 90^\circ$, то ...
+Выпишем площадь треугольника $PEK$ двумя способами: $S(PEK) = 0,5\cdot PH\cdot EK = 0,5\cdot KT\cdot PE$.
-Пусть теперь $\angle PEK \neq 90^\circ$. Тогда выпишем площадь треугольника $PEK$ двумя способами: $S(PEK) = 0,5\cdot PH\cdot EK = 0,5\cdot KT\cdot PE$.
 Тогда $\rho = KT = \dfrac{PH\cdot EK}{PE} = \dfrac{PH\cdot AF}{a\cdot\sin{\varphi}} = \dfrac{PH\cdot AF\cdot BC}{a\cdot\sin{\varphi}\cdot BC}=\dfrac{PH\cdot 2\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$.
 Итак, $\rho = \dfrac{2\cdot PH\cdot S(ABC)}{a\cdot b\cdot\sin{\varphi}}$.
+В остальных случаях, когда углы $\varphi$ или $\angle PEK$ могут быть прямыми, тот же результат получается аналогичным образом с той лишь разницей, что некоторые точки из приведённого доказательства могут совпадать.
+Например, если $\varphi = 90^\circ,$ то $A=E$, а если $\angle PEK = 90^\circ,$ то $T=E=H$.
 Обратим внимание, что тогда $PH\cdot S(ABC) = \dfrac{1}{2}\cdot\rho\cdot a\cdot b\cdot \sin{\varphi}$. В левой части этого равенства стоит произведение высоты тетраэдра на площадь грани, к которой эта высота проведена.