Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:formula-rasstoyaniya-ot-tochki-do-pryamoj

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:formula-rasstoyaniya-ot-tochki-do-pryamoj [2016/05/09 14:13] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
  
 +
 +=====Теорема=====
 +Расстояние от точки $A(x_0;​y_0)$ до прямой $l:\ ax+by+c=0$ выражается по формуле $\rho(A;​l)=\dfrac{|ax_0+b_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
 +
 +{{:​math-public:​151.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +
 +====Доказательство==== ​   ​
 +Рассмотрим произвольную точку $B(x_1;​y_1)$ прямой $l$.
 +
 +Вектор $\vec{n}(a;​b)$ является нормалью к прямой $l$.
 +
 +Тогда $\rho(A;​l)=\mbox{Пр}_{\vec{n}}(\overrightarrow{AB})$.
 +
 +По пункту $3$ теоремы \ref{151} $pr_{\vec{n}}(\overrightarrow{AB})=\frac{|\vec{n}\cdot
 +\overrightarrow{AB}|}{|\vec{n}|}=\frac{|(x_1-x_0;​y_1-y_0)\cdot(a;​b)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|x_1a-x_0a+y_1b-y_0b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-x_0a-y_0b+x_1a+y_1b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
 +
 +Так как точка $B(x_1;​y_1)$ лежит на прямой $l$, то $ax_1+by_1+c=0$,​ то есть $ax_1+by_1=-c$.
 +
 +Подставив это выражение в последнее равенство,​ получим:​
 +$\rho(A;​l)=\frac{|-ax_0-by_0-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|+ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
 +
 +Модуль в числителе необходим,​ чтобы выражение было положительным вне зависимости от выбора направления нормали к прямой.
math-public/formula-rasstoyaniya-ot-tochki-do-pryamoj.txt · Последние изменения: 2016/05/09 14:13 — labreslav