math-public:formula_brahmagupty
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия | |||
math-public:formula_brahmagupty [2016/04/11 00:28] – labreslav | math-public:formula_brahmagupty [2016/04/11 00:28] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | |||
+ | =====Формула Брахмагупты===== | ||
+ | Пусть $a,b,c,d$ -- стороны вписанного в окружность четырехугольника, | ||
+ | $p$ -- его полупериметр, | ||
+ | $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство=== | ||
+ | Рассмотрим вписанный четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a, | ||
+ | BC=b, CD=c, DA=d$. | ||
+ | |||
+ | По теореме косинусов для треугольников $ABC$ и $ACD$: $AC^2=a^2+b^2-2ab\cos{B}$, | ||
+ | |||
+ | Приравняв правые части этих равенств, | ||
+ | $a^2+b^2-2ab\cos{B}=c^2+d^2-2cd\cos{D}$. | ||
+ | |||
+ | Так как четырёхугольник $ABCD$ вписанный, | ||
+ | $\cos{D}=-\cos{B}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $a^2+b^2-2ab\cos{B}=c^2+d^2+2cd\cos{B}$. | ||
+ | |||
+ | Возведя это равенство в квадрат, | ||
+ | |||
+ | Кроме того $S=S_{ABC}+S_{ACD}=\frac{1}{2}ab\sin{B}+\frac{1}{2}cd\sin{D}$. | ||
+ | |||
+ | Умножив это равенство на $4$ и возведя в квадрат, | ||
+ | |||
+ | А так как $\angle B=180^\circ-\angle D$, то $\sin{B}=\sin{D}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда | ||
+ | |||
+ | $16S^2=4a^2b^2\sin^2{B}+8abcd\sin{B}\sin{B}+4c^2d^2\sin^2{B}=4\sin^2{B}(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)=4\sin^2{B}(ab+cd)^2$. | ||
+ | |||
+ | Таким образом | ||
+ | $16S^2=4\sin^2{B}(ab+cd)^2$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Складывая равенства $(1)$ и $(2)$, получим | ||
+ | |||
+ | $16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4\sin^2{B}(ab+cd)^2+4\cos^2{B}(ab+cd)^2=4(ab+cd)^2(\sin^2{B}+\cos^2{B})=(2ab+2cd)^2$ | ||
+ | |||
+ | или | ||
+ | |||
+ | $16S^2=(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)=((a+b)^2-(c-d)^2)((c+d)^2-(a-b)^2)=(a+b-c+d)(a+b+c-d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)=(2p-2c)(2p-2d)(2p-2b)(2p-2a).$ | ||
+ | |||
+ | Откуда следует, | ||
+ | $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$. | ||
math-public/formula_brahmagupty.txt · Последнее изменение: 2016/04/11 00:28 — labreslav