Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
=====Теорема=====
Если $CC_1$ -- биссектриса треугольника $ABC$, то
$CC_1=\sqrt{AC\cdot CB-AC_1\cdot C_1B}$.

{{:math-public:074_1.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
===Первый способ===
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена биссектриса
$CC_1$.

Пусть $AC=b, BC=a, AC_1=b_1, BC_1=a_1, CC_1=l$.

Докажем, что $l=\sqrt{ab-a_1b_1}$.

Рассмотрим случай, когда $a=b$, то есть треугольник $ABC$ -- равнобедренный.

Тогда $CC_1$ -- биссектриса и высота, и требуемая формула обращается в
теорему Пифагора для треугольника $ACC_1$: $l=\sqrt{b^2-b_1^2}$.

Рассмотрим случай, когда $a\neq b$.

Обозначим половину угла $C$ за $\alpha$, и выразим $\cos{\alpha}$ по теореме косинусов двумя способам: из треугольников $ACC_1$ и $BCC_1$.

Получим $\cos{\alpha}=\dfrac{a^2+l^2-a_1^2}{2al}=\dfrac{b^2+l^2-b_1^2}{2bl}$.

Откуда $a^2b+l^2b-a_1^2b=b^2a+l^2a-b_1^2a$.

Тогда $l^2(b-a)=ab(b-a)+a_1^2b-b_1^2a=ab(b-a)+a_1\cdot a_1b-b_1\cdot
b_1a$.

По свойству биссектрисы $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a_1}{b_1}$ или
$ab_1=ba_1$.

Следовательно, $l^2(b-a)=ab(b-a)+a_1\cdot b_1a-b_1\cdot
a_1b=ab(b-a)-a_1b_1(b-a)$.

И поскольку треугольник $a\neq b$, то $l^2=ab-a_1b_1$ или $l=\sqrt{ab-a_1b_1}$.

===Второй способ===
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена биссектриса
$CC_1$.

Пусть $AC=b, BC=a, AC_1=b_1, BC_1=a_1, CC_1=l$.

Докажем, что $l=\sqrt{ab-a_1b_1}$.

По свойству биссектрисы $AC_1:C_1B=b:a$, тогда $BC_1=\dfrac{ca}{a+b}$, $AC_1=\dfrac{cb}{a+b}$.

По теореме косинусов для треугольника $ABC$: $\cos{B}=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.

По теореме косинусов для треугольника $BCC_1$:

$l^2=a^2+BC_1^2-2\cdot a\cdot BC_1\cdot \cos{B}= a^2+\left(\dfrac{ca}{a+b}\right)^2-2\cdot a\cdot \dfrac{ac}{a+b}\cdot\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = a^2+\dfrac{c^2a^2}{(a+b)^2}-\dfrac{(a^3+ac^2-ab^2)(a+b)}{(a+b)^2}=\dfrac{a^2(a^2+b^2+2ab)+a^2c^2-a^4-a^2c^2+a^2b^2-a^3b-abc^2+ab^3}{(a+b)^2}=\dfrac{a^3b+2a^2b^2+ab^3-abc^2}{(a+b)^2}=\dfrac{ab(a+b)^2-abc^2}{(a+b)^2}=ab-\dfrac{ac}{a+b}\cdot\dfrac{bc}{a+b}=ab-a_1b_1$.

Таким образом $l=\sqrt{ab-a_1b_1}$.

=====Теорема=====
Если $CC_1$ -- биссектриса треугольника $ABC$, то
$CC_1^2=a\cdot b-a_1\cdot b_1$.

{{:math:image1.jpg|}}
==== Доказательство ====
Опишем окружность вокруг треугольника $ABC$. 

Продлим биссектрису $l_c$ до пересечения с окружностью в точке $D$

 $\triangle ABD\sim\triangle OBC$,
так как $\angle ABD=\angle DBC$ и  $\angle OCB=\angle ADB$

$\dfrac{l_c + x}{b}=\dfrac{a}{l_c}$.

$l_c(l_c+x)=ab$.

$l_c^2 + l_cx=ab$.

$l_cx=a_1b_1$. (по теореме об отрезках хорд)

$l_c^2=a\cdot b-a_1\cdot b_1$.


=====Теорема=====
Если $l_c$ -- биссектриса треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$, то
  * $l_c = \dfrac{2ab\cos{\dfrac{\gamma}{2}}}{a+b}$.
  * $l_c = \dfrac{2\sqrt{abp(p-c)}}{a+b}$.
  * $l_c = \dfrac{2\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}$.