Теорема

Если – биссектриса треугольника , то .

Доказательство

Первый способ

Рассмотрим треугольник , в котором проведена биссектриса .

Пусть .

Докажем, что .

Рассмотрим случай, когда , то есть треугольник – равнобедренный.

Тогда – биссектриса и высота, и требуемая формула обращается в теорему Пифагора для треугольника : .

Рассмотрим случай, когда .

Обозначим половину угла за , и выразим по теореме косинусов двумя способам: из треугольников и .

Получим .

Откуда .

Тогда $l^2(b-a)=ab(b-a)+a_1^2b-b_1^2a=ab(b-a)+a_1\cdot a_1b-b_1\cdot b_1a$.

По свойству биссектрисы или .

Следовательно, $l^2(b-a)=ab(b-a)+a_1\cdot b_1a-b_1\cdot a_1b=ab(b-a)-a_1b_1(b-a)$.

И поскольку треугольник , то или .

Второй способ

Рассмотрим треугольник , в котором проведена биссектриса .

Пусть .

Докажем, что .

По свойству биссектрисы , тогда , .

По теореме косинусов для треугольника : .

По теореме косинусов для треугольника :

.

Таким образом .

Теорема

Если – биссектриса треугольника , то .

Доказательство

Опишем окружность вокруг треугольника .

Продлим биссектрису до пересечения с окружностью в точке

, так как и

.

.

.

. (по теореме об отрезках хорд)

.

Теорема

Если – биссектриса треугольника , то .