math-public:formula_dlya_mediany_treugolnika
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:formula_dlya_mediany_treugolnika [2016/04/08 23:22] – создано labreslav | math-public:formula_dlya_mediany_treugolnika [2019/04/26 10:43] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Если $m_c$ -- медиана треугольника, | ||
+ | $m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$, | ||
+ | стороны треугольника. | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a,b,c$ и медианой $CM=m_c$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | По теореме косинусов для треугольника $ABC$ имеем: $\cos{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. | ||
+ | |||
+ | По теореме косинусов для треугольника $ACM$ имеем: | ||
+ | $m_c^2=b^2+\left(\dfrac{c}{2}\right)^2-2b\dfrac{c}{2}\cos{A}=b^2+\dfrac{c^2}{4}-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}=\dfrac{4b^2+c^2-2b^2-2c^2+2a^2}{4}=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$. | ||
+ | |||
+ | Откуда после извлечения корня из обеих частей равенства и следует, | ||
+ | что $m_c=\dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Если $m_c$ -- медиана треугольника, | ||
+ | $m_c=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos{\gamma}}$, | ||
+ | стороны треугольника. |
math-public/formula_dlya_mediany_treugolnika.txt · Последнее изменение: 2019/04/26 10:43 — labreslav