Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:formula_dlya_mediany_treugolnika [2016/04/08 23:22] – создано labreslav
+++ math-public:formula_dlya_mediany_treugolnika [2019/04/26 10:43] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема=====
+Если $m_c$ -- медиана треугольника, проведенная к стороне $c$, то
+$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$, где $a$ и $b$ -- остальные
+стороны треугольника.
+{{:math-public:073.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a,b,c$ и медианой $CM=m_c$.
+Докажем, что $m_c=\dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$.
+По теореме косинусов для треугольника $ABC$ имеем: $\cos{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
+По теореме косинусов для треугольника $ACM$ имеем:
+$m_c^2=b^2+\left(\dfrac{c}{2}\right)^2-2b\dfrac{c}{2}\cos{A}=b^2+\dfrac{c^2}{4}-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}=\dfrac{4b^2+c^2-2b^2-2c^2+2a^2}{4}=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$.
+Откуда после извлечения корня из обеих частей равенства и следует,
+что $m_c=\dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$.
+=====Теорема=====
+Если $m_c$ -- медиана треугольника, проведенная к стороне $c$, то
+$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos{\gamma}}$, где $a$ и $b$ -- остальные
+стороны треугольника.