Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:formula_dlya_mediany_treugolnika

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:formula_dlya_mediany_treugolnika [2016/04/08 23:22]
labreslav создано
math-public:formula_dlya_mediany_treugolnika [2019/04/26 10:43] (текущий)
labreslav
Строка 1: Строка 1:
 +=====Теорема=====
 +Если $m_c$ -- медиана треугольника,​ проведенная к стороне $c$, то
 +$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$,​ где $a$ и $b$ -- остальные
 +стороны треугольника.
  
 +{{:​math-public:​073.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a,b,c$ и медианой $CM=m_c$.
 +
 +Докажем,​ что $m_c=\dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$.
 +
 +По теореме косинусов для треугольника $ABC$ имеем: $\cos{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. ​
 +
 +По теореме косинусов для треугольника $ACM$ имеем:
 +$m_c^2=b^2+\left(\dfrac{c}{2}\right)^2-2b\dfrac{c}{2}\cos{A}=b^2+\dfrac{c^2}{4}-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}=\dfrac{4b^2+c^2-2b^2-2c^2+2a^2}{4}=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$.
 +
 +Откуда после извлечения корня из обеих частей равенства и следует,​
 +что $m_c=\dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$.
 +
 +
 +=====Теорема=====
 +Если $m_c$ -- медиана треугольника,​ проведенная к стороне $c$, то
 +$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos{\gamma}}$,​ где $a$ и $b$ -- остальные
 +стороны треугольника.
math-public/formula_dlya_mediany_treugolnika.txt · Последние изменения: 2019/04/26 10:43 — labreslav