Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa [2016/04/13 23:37] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:formuly_dlya_ploshchadej_figur_s_ispolzovaniem_sinusa [2019/11/25 12:14] (текущий) – [Теорема] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема=====
+  - Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла, заключенного между ними.
+  - Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла, заключенного между ними.
+  - Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
+{{:math-public:066a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:066b.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:066c.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт теоремы.===
+Пусть в треугольнике $ABC$ известны стороны $b, c$ и угол $A$ между ними.
+Докажем, что $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}$.
+Действительно, проведем высоту $h=CD$ из вершины $C$.
+Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$.
+Поэтому $h=b\sin{A}$.
+Тогда $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}ch=\dfrac{1}{2}bc\sin{A}$.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+Пусть в параллелограмме $ABCD$ известны стороны $a, b$ и угол $A$ между ними.
+Докажем, что $S_{ABCD}=ab\sin{A}$.
+Действительно, проведем высоту $h=BH$ из вершины $B$.
+Тогда $\sin{A}=\frac{h}{b}$.
+Поэтому $h=b\sin{A}$.
+Тогда $S_{ABCD}=ah=ab\sin{A}$.
+===Докажем третий пункт теоремы.===
+Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.
+Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$.
+Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$.
+Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle
+BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним.
+Следовательно, синусы углов
+$\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$ и $\angle AOD$ равны.
+Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$.
+Тогда $S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(ad+db+bc+ca)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(d(a+b)+c(b+a))=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(a+b)(c+d)=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot AC\cdot BD$.
+=====Теорема=====
+В любом выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполняется соотношение
+$S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$.
+{{:math-public:066c.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник.
+Пусть его диагонали пересекаются в точке $O$.
+Обозначим $a=AO, b=CO, c=DO, d=BO$.
+Кроме того, $\angle AOB=\angle COD$, а углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются смежными к ним.
+Следовательно, синусы углов $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$ и $\angle AOD$ равны.
+Обозначим $\sin{\angle AOB}=\sin{\alpha}$.
+Тогда $S_{ABO}\cdot S_{COD}=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot
+ad\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot
+bc=\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot
+db\cdot\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}\cdot ac=S_{BOC}\cdot S_{AOD}$.
+=====Следствие=====
+В произвольной трапеции площади треугольников, на которые трапецию
+делят диагонали, удовлетворяют соотношению $S^2=S_1\cdot S_2$.
+====Доказательство====
+Рассмотрим трапецию $ABCD$ в которой диагонали $AC$ и $BD$
+пересекаются в точке $O$.
+По теореме $S_{AOB}=S_{COD}=S$.
+Обозначим $S_1=S_{BOC}$, $S_2=S_{AOD}$.
+Тогда, учитывая теорему, получим $S^2=S_1\cdot S_2$.